2023届重庆市第八中学校高三上学期高考适应性月考（二）数学试题（解析版）

2023届重庆市第八中学校高三上学期高考适应性月考（二）数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解指数不等式得到集合B，再进行补集和交集的运算.

【详解】由条件，，由，解得，得，因此，，所以.

故选：C.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】不等式的解集为，集合是集合的真子集，可对充分条件必要条件进行判断.

【详解】不等式的解集为，由，可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件，

故选：A.

3．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件表示“第k只飞出笼的是苍蝇”，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率的计算公式以及排列数、组合数进行计算求解.

【详解】由题得，，

则，故A，B，D错误.

故选：C.

4．定义在R上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令选项中的函数为，将用 表示，再代入条件关系式，即可判断的周期性．

【详解】对于A，令，可得，由，

得，即，得不出函数具有周期性，A错误；

对于B，令，可得，由，

得，即，有，所以是周期为2的周期函数， B正确．

对于C，令，可得，由，

得，即，得不出函数具有周期性，C错误；

对于D，令，可得，由，

得，即，得不出函数具有周期性，D错误；

故选：B

5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ）倍

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据题意可知，利用整体法与正切的和差公式即可求得，故得解.

【详解】由可得，所以由题意得，

又，所以，

所以第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.

故选：A．

6．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正弦函数单调性、对数运算法则、指数函数单调性可求得的范围，进而比较出大小关系.

【详解】，；

又，，

，，.

故选：D.

7．在中，，G为的重心，若，则外接圆的半径为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】先由条件判定△ABC为等边三角形，再求得△ABC的边长，利用正弦定理求△ABC外接圆的半径即可解决.

【详解】由，可得，则有，

又在中，，G为的重心，则为等边三角形，

∵，则，

∴外接圆的半径为

故选：C．

8．若函数有极值点，，且，则关于x的方程的不同实数根个数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】求导数，由题意知是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图像可得答案.

【详解】

，

对于有是方程的两根

令，则，，，不妨设，利用有两根，所以，根据三次函数的性质，可以画出的图像，如图所示，又因为，所以由图可知，有1个解，有2个解

故选：A．

二、多选题

9．已知，且，则下列式子正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据利用对数的运算法则进行化简，D选项借助基本不等式进行判断.

【详解】已知，且，故，且．

对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，当且仅当时取等号，因为，故成立，故D正确，

故选：ACD．

10．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列

C． D．中任意三项不能构成等差数列

【答案】ACD

【分析】利用数列的前项和以及等比数列的定义，逐项判断即可.

【详解】因为，所以写．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；

所以，则．当时，，且，故B错误；

由当时，可得，故C正确；

因为，设，，，由，故矛盾，故D正确.

故选：ACD．

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若函数的最小正周期为，则其图象关于直线对称

B．若函数的最小正周期为，则其图象关于点对称

C．若函数在区间上单调递增，则的最大值为2

D．若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】对于A、B，根据周期求出，再代入检验即可，对于C、D，由的取值范围，求出的取值范围，再根据所对应的条件得到不等式组，解得即可.

【详解】解：对于A选项：∵的最小正周期为，∴，

∴，故函数关于对称，故A正确；

对于B选项：∵的最小正周期为，∴，

∴，故函数关于对称，故B错误；

对于C选项：∵，∴．又函数在上单调递增，

∴，∴，故C正确；

对于D选项：∵，∴，又在有且仅有4个零点，

则，∴，故D正确，

故选：ACD．

12．已知F为椭圆C：的左焦点，直线l：与椭圆C交于A，B两点，轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（    ）

A． B．的最小值为2

C．直线BE的斜率为 D．为钝角

【答案】AC

【分析】对于A，利用椭圆与的对称性可证得四边形为平行四边形，进而得到；

对于B，利用A中的结论及基本不等式“1”的妙用即可得到的最小值；

对于C，由题意设各点的坐标，再由两点斜率公式即可得到；

对于D，先由各点坐标结合椭圆方程可得到，从而可证得，由此可知.

【详解】由椭圆C：得，则，，，

对于A，设将圆C的右焦点为，如图，连接，，

由椭圆与的对称性可知，则四边形为平行四边形，

故，故A正确；

.

对于B，，

当且仅当，且，即时，等号成立，

故的最小值为，故B错误；

对于C，设，，，故直线BE的斜率，故C正确；

对于D，设，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，

又点P和点A在椭圆C上，故，，

两式相减得，则，故，

易知，则，得，

所以，故，故D错误.

故选：AC．

三、填空题

13．复数z满足：，则______.

【答案】

【分析】根据复数相等及共轭复数概念即可得到结果.

【详解】令，，∴，

∴且，故．

故答案为：

14．定义在R上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由性质①易知其奇偶性，再由性质②可知其对称性，由此构造满足的函数.

【详解】因为，所以是在R上的偶函数，由此可联想到余弦型函数；

又因为，所以关于点对称，

而由得，故关于点对称，

令，可得，故满足题意，

所以.

故答案为：（答案不唯一）.

15．已知M是边长为1的正的边AC上的动点，N为AB的中点，则的最大值是_____.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，设，求得的表达式，利用二次函数的性质求得的最大值.

【详解】以BC所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．

可得，，，，

设，，，

因为点M在边AC上，所以，，，即，∴

，

所以当时，取最大值．

故答案为：

16．已知函数，数列是公差为4的等差数列，若，则数列的前n项和______.

【答案】

【分析】由题意判断的奇偶性以及单调性，结合的特征，构造函数，判断其性质，结合等差数列的性质可推得，继而求得首项，即可求得答案.

【详解】由函数可知,

由

，

故为偶函数，当时，知，在上单调递增且，

设，则为奇函数且时，，

故此时单调递增，则时，单调递增，

故结合奇函数的对称性可得在单调递增，

由题意，

得，又是等差数列，可得，

当时，，

同理，即，不合题意，

当时，同理可得，也不合题意；

所以，又公差为4，可得，则 ，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查了等差数列的前n项和的求解，考查了导数的应用，涉及到对数型函数的奇偶性以及单调性的应用，综合性较强，解答时要能综合应用函数的相关知识灵活解答,解答的关键是分类讨论，判断，进而求得数列首项.

四、解答题

17．如图，在棱柱中，为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)若该三棱柱为正三棱柱，且所有棱长均相等，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面法向量的夹角，求得线面角.

【详解】(1)证明：如图，连接，与相交于点，连接．

则在平行四边形中，为的中点．

又为棱的中点，所以在中，．

因为平面，平面，所以平面．

(2)正三棱柱中， 以为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．如图所示，

设棱柱的棱长为，则，，，，

，．

设平面的法向量为，则，

令，则有，，，因为，

所以．

故直线与平面所成角的正弦值为．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B；

(2)已知，，求b.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由正弦定理将原式角化边，再根据余弦定理公式求得，即可得到角；（2）利用第一问求得的角代入面积公式解出边a、c，再用余弦定理求得边b即可.

【详解】(1)由题

由正弦定理得，

即，

由余弦定理得，

所以.

(2)由（1）得

又，

所以，又

解得，

所以

所以.

19．记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用等差数列通项公式可求得，由与的关系推导得到，由此可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式推导可得；

（2）由（1）可得，采用放缩法可得，结合等比数列求和公式可证得结论.

【详解】(1)，，即；

当且时，，

即，，又，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

，则.

(2)由（1）得：，

，，

.

20．核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作时长不超过15分钟，若某人15分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为，，.假设，，互不相等，且假定三人能否完成工作是相互独立.

(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；

(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是的一个排列.

①求所需派出人员数目X的分布列和数学期望；

②假定，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？

【答案】(1)无关；理由见解析

(2)① 分布列见解析；期望为；②完成任务概率大的人先派出

【分析】(1)由概率算式知任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关.

(2) ①计算变量取值相应的概率得到分布列，计算数学期望；②根据不同顺序方案数学期望的结果，得到数学期望最小时的派出顺序.

【详解】(1)无关，理由如下：

由于任务不能被完成的概率为为定值，

故任务能被完成的概率为也为定值．

所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关．

(2)① X的取值为1，2，3，

，，，

分布列如图：

．

② ，

若交换前两个人的派出顺序，则变为，

由此可见，当时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；

若保持第一人派出的人选不变，交换后两个人的派出顺序，

可写为，交换后两个人的派出顺序则变为；

当时，交换后两个人的派出顺序可增大均值，

故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

21．已知函数.

(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）在定义域内单调递增，在定义域内恒成立，.转化为求最小值问题.

（2）恒成立问题转化为求最值，利用导数研究单调性，找最值求范围.

【详解】(1)，函数定义域为

，

∵在上单调递增，∴在上恒成立，

，记，

，解得，，解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴，

a的取值范围为

(2)由可知，，

∴，记，

∵，

令，，

，解得，，解得

在上单调递减，在上单调递增，

，，

∴，，

，，∴，∴单调递减，

，，，∴单调递增，

，

∵，，

∴，

∴整数k的最大值为6．

22．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若l交y轴于点P，，，求证：为定值；

(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程；

（2）由向量的坐标表示求得，代入双曲线方程得，同理可得，再由韦达定理即可得到，得证；

（3）由得到，结合（2）中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围.

【详解】(1)由题意得，，

则当l与x轴垂直时，不妨设，

由，得，

将代入方程，得，解得，

所以双曲线E的方程为．

(2)设，，，

由与，得，

即，，将代入E的方程得：，

整理得：①，

同理由可得②．

由①②知，，是方程的两个不等实根．

由韦达定理知，所以为定值．

(3)又，即，

整理得：，

又，不妨设，则，

整理得，又，故，

而由（2）知，，故，

代入，

令，得，

由双勾函数在上单调递增，得，

所以m的取值范围为．

.

【点睛】解答圆锥曲线的范围问题的方法与策略：

（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.