2021-2022学年江苏省海门市第一中学、新沂市海门中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省海门市第一中学、新沂市海门中学高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由补集的定义求出，再由并集的定义得答案.

【详解】∵全集，集合

∴，又

∴.

故选：C.

2．已知，，化简得（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，，化简根式，即可得到答案.

【详解】，，化简.

故选：B.

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数有意义列出不等式组求解即可.

【详解】解：有意义，则得，

故选：A.

4．设，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】根据不等式的性质，利用必要不充分条件的定义判断即可.

【详解】根据不等式的性质由且能推出 ；

当，时，有  而，

则“”是“且”的必要不充分条件.

故选：B．

【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理．

5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D.

点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.

6．若正数，满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．25 D．6

【答案】C

【分析】由可得，则，展开利用基本不等式即可得出答案.

【详解】∵正实数，满足，∴，

则，

当且仅当即时，等号成立，

∴的最小值是25.

故选：C．

7．关于的不等式任意两个解得差不超过14，则的最大值与最小值的差是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】先分类求不等式的解集，再根据任意两个解的差不超过14，分类求得的范围，可得的最大值与最小值的差．

【详解】不等式，

时解集为，时解集为，

时解集为，

由题意可得时，时，

解得，

则的最大值与最小值的差为4，

故选：B.

8．若函数是定义上的偶函数，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，求出，的值，再计算的值.

【详解】∵是定义在上的偶函数，

∴，即

∴，

又定义域关于原点对称，∴，

∴，，

∴，

∴.

故选：D.

二、多选题

9．已知函数，若，则实数的值（    ）

A． B．3 C．2 D．

【答案】ABC

【分析】根据分段函数的解析式分别进行求解即可.

【详解】若，由得，得，符合题意；

若，由得，得或（不符合，舍去），故符合题意；

若，由得，得，，符合题意.

故实数的值为或2或3.

故选：ABC.

10．已知命题：，，命题：，，若命题与命题均为真命题，则实数的可能取值为（    ）

A． B．5 C． D．4

【答案】AD

【分析】利用条件求出命题，的等价条件，再利用命题与都是真命题，确定实数的取值范围，即可得出答案.

【详解】对于命题：，，∴，∴

对于命题：，，∴，解得

若命题与均为真命题，则，只有A、D满足.

故选：AD.

11．下列命题正确的是（    ）

A．

B．函数与表示同一个函数

C．若，则

D．函数在区间上的最大值与最小值之和为4

【答案】ABD

【分析】A.利用分数指数幂的互化公式计算；B.利用函数相等的定义判断；C.利用换底公式以及对数运算公式计算；D.利用函数的奇偶性和函数的最值判断.

【详解】A.根据根式与分数指数幂的运算公式可知正确，故A正确；

B.，根据函数相等的定义，可知与表示同一个函数，故B正确；

C. ，故C不正确；

D.首先设，函数的定义域是，，所以函数是奇函数，的最大值和最小值互为相反数，即的最大值和最小值之和为0，所以的最大值和最小值的和为4，故D正确.

故选：ABD

12．已知，，且，则下列正确的是（    ）

A．的最大值为5 B．的最大值为

C．的最小值为6 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据选项中各式的特征，利用基本不等式，逐一求解即可.

【详解】对于A，∵，

∴，即，当且仅当即时，等号成立，

则，故A不正确；

对于B，∵，，，

∴由，可得，，

∴，当且仅当即时取等号，

∴的最大值为，故B正确；

对于C，∵，，∴，，又，

∴，

当且仅当，即时等号成立，故C正确；

对于D，，

当且仅当即时等号成立，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．命题“”的否定是___________.

【答案】

【分析】特称命题的否定将存在改任意，只否定结论.

【详解】的否定为：

故答案为：.

14．______.

【答案】

【分析】根据对数运算法则进行计算即可.

【详解】解：原式

.

故答案为: .

15．函数的单调递增区间为___________.

【答案】

【分析】将函数解析式转化为分段函数，再画出函数图象，数形结合即可判断；

【详解】解：因为，所以函数图象如下所示：

由函数图象可得函数的单调递增区间为

故答案为：

16．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．

【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，

所以在上恒成立，

又在上单调递增，则，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

，

令，，设，

，则在上单调递增，

所以，

所以．

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合，集合.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据可得出，即可得出，解出的范围即可．

（2）由与的交集为空集，按和分类讨论确定出实数的范围即可．

【详解】（1）若，则，

所以，解得，

所以实数的取值范围为

（2）①当时，，可得，满足，符合题意.

②当时，若，则 或

解得：或无解

综上所述：

所以若，实数的取值范围为：.

18．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数在区间上的解析式；

（3）求函数在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）将代入即可；

（2）由（1）可知当时,,再根据奇函数的性质可得时, ；

（3）先求出时,的值域,再根据奇函数的性质可得时,的值域,以及,可得的值域为.

【详解】（1）由题可知,,解得；

（2）由（1）可知当时,,

当时,,.

（3）,

当时,,

,

∵是奇函数,

∴时,,

又∵,

∴的值域为.

【点睛】本题考查了分式型函数的值域求法,和根据奇偶性求函数的解析式,属于中等题.

19．（1）求不等式的解集；

（2）若的最大值为m，正实数p，q满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用分类讨论法求解即可；

（2）利用绝对值三角不等式求出，得到，再利用基本不等式求解.

【详解】解：不等式或或，解得，

故原不等式的解集为；

（2）

∴的最大值4，，

∵，，，∴，

∴

，

∴的最小值为，当且仅当时等号成立．

20．物联网（Internet of Things，缩写：IOT）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络. 其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景. 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比;若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7. 2万元. 这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？

【答案】把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元.

【解析】设，根据已知条件分别求出，进而求出费用之和的函数，利用基本不等式，即可求解.

【详解】解：设，其中，

当时，，

解得，

所以，，

设两项费用之和为（单位：万元）

则

当且仅当，即时，“”成立，

所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，

最小费用是7.2万元.

【点睛】本题考查函数应用问题，考查用待定系数法求解析式，考查基本不等式求函数的最值，属于中档题,

21．已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有，且，，当时，.

（1）求的值，判断的奇偶性并证明；

（2）判断在上的单调性，并给出证明；

（3）若且，求的取值范围.

【答案】（1）1，为偶函数，证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.

【分析】（1）令，可求得，再令，求得，即得为偶函数；

（2）利用定义法判断函数的单调性即可；

（3）由函数的奇偶性、单调性可得，即，得解.

【详解】解：（1）令，；

函数为偶函数.

证明如下：

令，则，，

，

故为偶函数；

（2）在上是增函数.

证明如下：设，，，

则，

，，，

，

故在上是增函数.

（3），

又，

，，

，，

，则，

又函数在上是增函数，

，即，

综上知，的取值范围是.

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用函数的性质求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.

22．已知（，为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或单调递减；②如果存在区间，使函数在区间上的值域为，那么称，为闭函数

（1）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（2）求证：函数（）为闭函数；

（3）若是闭函数，求实数的取值范围

【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）

【分析】（1）可判断函数f（x）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；

（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[﹣1，1]；

（3）由是（0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，从而有，问题转化为方程有两个不等非负实根，利用二次方程根的分布知识可得k的限制条件；

【详解】（1）函数f（x）在区间上单调递减，在上单调递增；

所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数．

（2）先证y＝﹣x3符合条件①：对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，

有＝＝，

∴y1＞y2，故y＝﹣x3是R上的减函数．又因为y＝﹣x3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]．

所以函数y＝﹣x3（x∈[﹣1，1]）为闭函数；

（3）易知是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；

设函数符合条件②的区间为[a，b]，则有；

故a，b是的两个不等根，即方程组为：有两个不等非负实根；

设x1，x2为方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的二根，则，解得：

∴k的取值范围：．

【点睛】本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值，属于中档题．