2021-2022学年重庆市凤鸣山中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年重庆市凤鸣山中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．平面向量，，若，则等于
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：根据向量共线的条件，可知，所以.
【解析】向量共线的坐标表示.
2．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为已知三角形的三边长，所以利用余弦定理可求出角的值
【详解】因为，，，
所以由余弦定理得，，
因为，所以，
故选：C
3．在中，角、、的对边分别为、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，求出的三个角，得到为直角三角形，利用直角三角形的性质求解即可，或利用正弦定理求解
【详解】解：因为，,
所以，
所以为直角三角形，
若设，则，
所以，
所以，
另解：因为，,
所以，
所以由正弦定理可得
故选：B
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】利用正弦定理边角互化思想化简可得，求得角的值，进而可判断出的形状.
【详解】，由正弦定理得，即，，
，，则，
，所以，，因此，是直角三角形.
故选：A.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
6．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求出的正弦值，然后根据展开即可求解.
【详解】解：如图所示，
在中，，
由余弦定理得，解得，
又由正弦定理得，
由知为锐角，所以，
所以.
故选：B．
7．如图所示，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M，N分别为CD，BC的中点，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解．
【详解】以为轴建立平面直角坐标系，则，，，
，，取的单位向量，
，所以向量在向量上的投影向量的模为3．
故选：A．
8．在中，已知，，若点、分别为的重心和外心，则（ ）
A．4B．6C．10D．14
【答案】C
【分析】取的中点，因为、分别为的重心和外心，则，
再用、表示，，再根据向量的数量积的运算律计算可得.
【详解】解：如图，取的中点，因为、分别为的重心和外心
故选：
【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．
二、多选题
9．根据下列条件，能确定向量是单位向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据单位向量的模为，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，由得，故不是单位向量；
B选项，由得，故是单位向量；
C选项，由得，故是单位向量；
D选项，由得，故是单位向量.
故选：BCD.
10．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则无解B．若，则恰有一解．
C．若，则有两解．D．若，则有两解．
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理求出的值，然后根据三角形中大边对大角及三角形的内角和为求角，从而判断三角形解的个数.
【详解】选项A：由正弦定理，得，所以无解，选项A正确；
选项B：由正弦定理，得，所以，即恰有一解，所以选项B正确；
选项C：由正弦定理，得，因为，且，所以或，即有两解，所以选项C正确；
选项D：由正弦定理，得，因为，所以，所以 ，即有一解，所以选项D错误.
故选：.
11．在中，角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，且为直角三角形
D．若，则为钝角三角形
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理、余弦定理，向量数量积的定义，诱导公式及余弦函数的单调性判断选项.
【详解】对于A，为锐角，但推不出为锐角三角形；
对于B，，故为直角三角形；
对于C, ,由正弦定理可得，故为直角三角形；
对于D，由可得，所以为钝角，为钝角三角形.
故选：BCD
12．下列论述中正确的是（ ）
A．已知平面向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于
B．对于给定的，其重心为，过点的直线交，与，，若，，则
C．在四边形中，，且，则
D．在中，若则是外心
【答案】ABC
【分析】对于A，先由已知求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可，对于B，利用共线向量定理结合重心的性质求解，对于C，由已知可得四边形是菱形，再利用余弦定理求解，对于D，根据已知条件可得是三角形的垂心
【详解】对于A，∵平面向量，的夹角为，且，，
∴，，
∴，
因为
所以与的夹角等于.故A正确
对于B，由于是三角形的重心，三点共线，所以，
，，
，所以，
所以.B选项正确.
对于C，由于，所以四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，且，，所以，C选项正确.
对于D，在中，若，，，所以，同理可证得，所以是三角形的垂心，D选项错误.
故选：ABC
三、填空题
13．若，则_______
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
14．已知平面向量，的夹角为，且，，则=_______.
【答案】
【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.
【详解】解：，所以．
故答案为：.
15．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由于与的夹角为锐角，所以且与不共线，从而可求出的取值范围
【详解】解：因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，
由，得，得，
当与共线时，，得，
所以实数的取值范围是且，
故答案为：
16．已知平面向量，满足，且，则的最大值为___________.
【答案】7
【分析】不妨设，，设，用向量数量积的坐标运算求解．
【详解】因为，不妨设，，设，
则，，
，即，
所以，，
，所以，最大值为7．
故答案为：7．
四、解答题
17．已知，，与的夹角为.
（1）计算的值；
（2）若，求实数k的值.
【答案】（1）8；（2）1.
【解析】利用平面向量的数量积直接计算即可.
【详解】（1），
（2），即，
.
【点晴】
此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题.
18．在中，角，，的对边分别为，，，且，，．
（1）求的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理即可求解；
（2）由（1）可求出，再根据面积公式即可求解.
【详解】解：（1）由正弦定理得，
，
又，所以，
；
（2）由（1）知，
，
．
19．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据平面向量的加法运算，得出，再利用，，三点共线，利用向量的共线定理可知存在实数，使得，解出的值，即可得出结果；
（2）根据平面向量坐标的加法运算，得出，可求出的坐标；
（3）由平行四边形的性质，可知，设，则，计算得出点的坐标.
【详解】解：（1）由题可知，，，，
，
，，三点共线，
存在实数，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，解得：，.
（2）已知，，
.
（3）四点按逆时针顺序构成平行四边形，且，
，
设，则，
，
，解得，即点的坐标为．
20．在①，②的面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知的内角，，所对的边分别是，，，且______．
（I）求角的大小；
（II）若，求面积的最大值．
【答案】选择条件见解析；（I）；（II）
【分析】（I）选择条件①时，利用余弦定理将条件化为，从而求得，求得角C；选择条件②时，根据面积相等有，结合余弦定理化简得，从而求得角C；
（II）利用余弦定理得，结合基本不等式，求得最大值，从而求得面积的最大值.
【详解】（I）若选择条件①，则
即，由余弦定理知，，
又，因此.
若选择条件②，
则，结合余弦定理知，
，即，，
又，因此.
（II）由（I）知，，又，
则由余弦定理知，，
因此，即，当且仅当时，等号成立，
则的面积，
即的面积最大值为：
21．在中，角、、所对的边分别为、、，若向量，向量，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用向量平行的条件得到，结合正弦定理得，从而可求角的大小.
（2）把向量用向量来表示，根据向量模的平方等于向量的平方，把表示为，从而可求的值.
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，得，
又，，即，
又因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，
，，，
所以
.
22．在平面四边形中，，，，.
（1）若E为AC中点，求的值；
（2）求的值；
（3）若四边形ABCD为圆的内接四边形，求它的面积.
【答案】（1）；（2）14；（3）.
【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，用、表示出向量、，再由向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果.
（2）连接DE，同（1）求得，再由，由向量数量积的运算法则，即可求出结果；
（3）由四边形为圆内接四边形，得到，推出，，根据余弦定理，列出方程求出，得到，再由三角形面积公式，根据，即可求出结果.
【详解】（1）因为E为AC中点，则
（2）连接DE，
同（1）可求得：
∴
（3）若ABCD为圆内接四边形，则，
∴，，
由余弦定理可得：
，
，
∴，
∴
.
【点睛】思路点睛：
求解平面向量数量积的问题时，一般需要根据平面向量基本定理，用一组基底先表示出所需向量，再由向量数量积的运算法则，结合题中条件，进行求解即可.