2022-2023学年福建省南平市高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省南平市高级中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用集合的交集运算求解.

【详解】，，

.

故选：D

2．设x∈R.则“”是“”的（   ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，例如，则，不是充分的，

，必要性成立．

因此应是必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合的包含角度求解．

3．设函数在区间上的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】分析二次函数在区间上的单调性，进而可求得该函数的值域.

【详解】，

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，

，，.

因此，函数在区间上的值域为.

故选：A.

4．下列函数中，表示同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】根据函数的定义，只有两个函数的定义域和对应法则相同，这两个函数才相同，由此对选项一一判断，即可得到结果．

【详解】对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；

对于，函数，故对应法则不相同，故选项中的函数不是同一函数；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，故选项中的函数不是同一函数；

对于，这两个函数的定义域和对应法则都相同，故选项为同一函数．

故选：．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．已知函数，对任意实数，都满足，则、、的大小关系为

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】解法一:由题意可得是二次函数,根据,可求得的对称轴为,根据二次函数对称轴为,可求得参数 ,由此可以求得、、,即可求得答案.

解法二:根据,可求得的对称轴为,由题意可得是开口向上的二次函数,由二次函数图像特点可知:当越小,对应的越小.即可比较、、.

【详解】解法一: 的对称轴为

的对称轴为

根据二次函数对称轴为

  即

,

解法二: 的对称轴为

的对称轴为

是开口向上的二次函数

当越小,对应的越小

当时;

当时;

当时;

故选:A.

【点睛】本题考查了函数对称轴判别式即: 的对称轴为,能解读出函数的对称是解本题的关键.

7．已知，若定义在上的函数满足对、，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，函数是上的减函数，则函数的两支函数均为减函数，且有，由此可得出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】定义在上的函数满足对、，都有，

所以，函数是上的减函数，

则函数和均为减函数，且有，

即，解得，因此，实数的取值范围是.

故选D.

【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，求解时不仅要求分段函数的每支函数都保持原函数的单调性外，还应注意各支函数在分界点处函数的值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用奇偶性、单调性及判断函数值的正负分布情况，再讨论和时不等式的解集情况，最后取并集即可.

【详解】是奇函数，即，故，

又在上是增函数，故在上也是增函数，

故时，时，时，时.

当时，不等式即，故，即；

当时，不等式即，故，

综上，不等式的解集为：.

故选：A.

【点睛】本题的解题关键在于利用函数的单调性和奇偶性准备判断函数值的正负分布情况，即可解出不等式，突破难点.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.

【详解】A.取特殊值，，，显然不满足结论；

B.由可知，，结论正确；

C. ，，，，显然不满足结论；

D. ，则     

又，则根据不等式性质，有成立.

故选：BD.

10．若函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（    ）

A．-1 B．1 C． D．3

【答案】BD

【分析】根据幂函数的图像和性质判断可能的值即可.

【详解】当为时，定义域不是R；当为时，定义域不是R；

当为时，是定义域为R的奇函数；当为时，是定义域为R的奇函数.

故选BD

【点睛】本题主要考查了常见幂函数的定义域，奇偶性，属于中档题.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若二次函数为偶函数，则 B．

C．集合的真子集有3个 D．若，则

【答案】ACD

【分析】利用二次函数对称轴，指数幂的运算，集合的真子集，不等式的性质即可判断.

【详解】对于A：若二次函数为偶函数，则对称轴，故A正确

对于B：，故B错误

对于C：集合有两个元素，所以真子集个数为个，故C正确

对于D：，，则，故D正确

故选：ACD

12．已知函数，则满足（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】对于A直接代入化简即可判断其奇偶性，对于B利用函数单调性和具体代入比较值大小即可判断，对于C，，对于D代入运算化简得.

【详解】对于A，，，故A正确；

对于B，根据增函数加上增函数为增函数易得为增函数，则成立，

，，故B正确，

对于C，，故C正确，

，故D错误，

故选：ABC.

三、填空题

13．已知则此函数的定义域是___________.

【答案】且

【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数有意义，则满足，

解得且，即函数的定义域为且.

故答案为：且.

14．若函数，则___________.

【答案】

【分析】凑配法求函数解析式.

【详解】由已知得，

则

故答案为：

15．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，在下列命题正确的是________．

①；

②当时，；

③函数的定义域为，值域为；

④函数是增函数，奇函数．

【答案】①②③

【分析】由题意可得表示数的小数部分，可得，当时，，即可判断正确结论．

【详解】表示数的小数部分，则①正确，

当时，，②正确，

函数的定义域为，值域为，③正确，

当时，；当时，，

当时，；当时，，

则，即有不为增函数，

由，，可得，即有不为奇函数，④错误．

故答案为：①②③

【点睛】本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

四、解答题

16．已知 则___________.

【答案】##1.5

【分析】根据分段函数的解析式特征代入即可求解.

【详解】,,

故答案为：

17．集合，集合，求.

【答案】

【分析】首先解出集合中的不等式，然后根据集合交并补的运算得到答案即可.

【详解】，解得，

故，而，

所以，

所以

18．已知命题二次函数在上单调递减；命题不等式对恒成立.

(1)若q为真命题，求实数a的取值范围：

(2)若p､q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）将题目转化为在恒成立，利用二次函数图像得到其解出即可.

（2）首先求出p为真即，结合（1）然后分p真q假和p假q真，两种讨论即可.

【详解】（1）若q为真命题，即对恒成立；

整理得在恒成立，则，解得，

即若q为真命题a的范围是；

（2）若命题p为真，根据二次函数单调性与对称轴关系则，

由已知命题p､q中有且只有一个为真，则

①p真q假，所以，解得.

②p假q真，所以，解得.

故a的取值范围为：或.

19．已知函数，，.

（1）若的解集为，求，的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

【解析】（1）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可知的两根分别是和，将和代入得到关于，的方程组求解；

（2）不等式可化为，则的两根分别为和，然后针对和的大小关系进行分类讨论，根据口诀“开口向上，大于取两边，小于取中间”写出原不等式的解集.

【详解】解：（1）依题意有的解集为，

故方程的两根为1和3，

故.

（2）由，得，

又或，

①当时，有，则时，；

②当时，原不等式可化为，则；

③当时，有，则不等式时，；

综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.

【点睛】解含参数的一元二次不等式时，要注意针对参数的取值进行讨论，一般方法如下：

（1）若二次项系数含有参数，要分二次项系数，和三种情况讨论；

（2）当二次项系数不为零时，首先要注意先讨论，及三种情况讨论；当二次方程有两根时，一定要注意根的大小讨论．

20．

(1)求值： ；

(2)化简

【答案】(1)2

(2)

【分析】运用指数运算规则即可.

【详解】（1）；

（2）原式；

综上，（1）原式=2，（2）原式= .

21．已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）9；（2）(－8，2)．

【解析】（1），利用基本不等式性质即可求得最小值．

（2）利用基本不等式求出的最小值，代入求出的范围即可．

【详解】解：（1）因为，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，，

所以，

所以．

因为恒成立，

所以，

解得，

所以的取值范围为．

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题．

22．已知函数是定义域为上的奇函数，且.

(1)求m，n的值；

(2)判断函数的单调性并利用定义证明；

(3)解不等式.

【答案】(1)

(2)函数，在区间上为增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数是定义域为上的奇函数可得，以及，

列出方程即可求得

（2）利用定义法证明函数的单调性即可.

（3）由（1）（2）中函数的奇偶性以及单调性，列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】（1）根据题意，函数是定义域为上的奇函数，且

可得，解得，所以函数，

经检验，符合题意.

（2）函数，在区间上为增函数，

证明：设且，

则，

又由，则，则有，

所以函数，在区间上为增函数.

（3）由为上的增函数且是奇函数，

则等价于，即，

则，解得，故不等式的解集为.