2023年中考数学一轮复习--专题12 二次函数的图像与性质及与a、b、c的关系（考点精讲）（全国通用）

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专题12 二次函数的图像与性质及与a、b、c的关系
考点精讲

考点1：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，

考点2：a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点






考点3：二次函数与一元二次方程的关系
（1）的解就是二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标
（2）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
（3）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
母题精讲
（4）当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.

【典例1】（2022秋•西城区）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是　 　，顶点坐标是　 　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x
…





…
y
…





…
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　 　．

【典例2】画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：
x
…





…
y
…





…
（1）对称轴是 　 　，顶点坐标为 　 　；
（2）与x轴的交点坐标为 　 　；与y轴的交点坐标为 　 　．
（3）当x　 时，y随x的增大而增大；当x　 　时，y随x的增大而减小．
（4）当 　 　时，函数y的值小于0．（填x的取值范围）．


真题精选

命题1 二次函数函数的图像及性质

1．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
2．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
3．（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　）
A． B． C．﹣4 D．4
4．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
6．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是 　　．
7．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求函数与x轴交点坐标；
（3）用五点法画函数图象
x
…





…
y
…





…
根据图象回答：
（4）当y≥0时，则x的取值范围为　 ．
（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为　 　．

命题2 二次函数图像与系数的的结论判断


8．（2022•毕节市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　 　．（填写代表正确结论的序号）





专题12 二次函数的图像与性质及与a、b、c的关系
考点精讲

考点1：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象




开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，

考点2：a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点






考点3：二次函数与一元二次方程的关系
（1）的解就是二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标
（2）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；
（3）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；
（4）当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.
母题精讲


【典例1】（2022秋•西城区）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）与x轴的交点坐标是　 　，顶点坐标是　 　；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x
…





…
y
…





…
（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　 　．

【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，
所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
图象如图所示：
；
（3）当﹣2＜x≤1时，﹣4≤y＜5；
当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3，
综上所述，﹣4≤y＜5．
【典例2】画出二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：
x
…





…
y
…





…
（1）对称轴是 　 　，顶点坐标为 　 　；
（2）与x轴的交点坐标为 　 　；与y轴的交点坐标为 　 　．
（3）当x　 时，y随x的增大而增大；当x　 　时，y随x的增大而减小．
（4）当 　 　时，函数y的值小于0．（填x的取值范围）．

【解答】解：填表如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
作图如右：
，
由图象可知：（1）对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，4）；
（2）与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）；与y轴的交点坐标为（0，3）．
（3）当x≤1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小．
（4）当x＜﹣1或x＞3时，函数y的值小于0．
故答案为（1）x＝1，（1，4）；（2）（﹣1，0）和（3，0），（0，3）；（3）≤1，＞1；（4）x＜﹣1或x＞3．

真题精选

命题1 二次函数函数的图像及性质

1．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
【答案】B
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
2．（2022•郴州）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解答】解：y＝（x﹣1）2+5中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（1，5），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x＝1，x＜1时y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
3．（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　）
A． B． C．﹣4 D．4
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，
∴c＝．
故选：B．
4．（2022•贺州）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故选：D．
5．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
6．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣5，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是 　　．
【答案】3
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，
∴当x＝4时，函数有最大值，最大值为y＝（4﹣1）2﹣6＝3，
故答案为：3．
7．已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）求函数与x轴交点坐标；
（3）用五点法画函数图象
x
…





…
y
…





…
根据图象回答：
（4）当y≥0时，则x的取值范围为　 ．
（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为　 　．

【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8；
（2）令y＝0，则0＝2x2+4x﹣6，
解得：x＝1，或x＝﹣3，
函数与x轴交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（3）用五点法画函数图象如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣6
﹣8
﹣6
0
…

（4）当y≥0时，则x的取值范围为x≥1或x≤﹣3．
（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为0＞y≥﹣8．
命题2 二次函数图像与系数的的结论判断


8．（2022•毕节市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴②说法错误，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．
9．（2022•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 　 　．（填写代表正确结论的序号）

【答案】①②③
【解答】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴，故a+b＝0，故③正确；
④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．