2023年中考数学一轮复习--专题13 二次函数解析式的确定及图像变换（考点精讲）（全国通用）

专题13 二次函数解析式的确定及图像变换

考点1： 二次函数解析式常见形式

（1）一般式：（a,b,c为常数，a0）；

（2）顶点式：2（a,h,k为常数，a0）；

（3）交点式：（x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a0）

解题思路：

根据题中所给的条件选择合适的形式：

①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值 时，可设函数解析式为

2；

③当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为）

考点2：平移

平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）

（2）从函数y=ax²平移烦方法如下：

注意：（1）上下平移   若原函数为

注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。

（2）左右平移

     若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形

注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。

【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．  

【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.

【典例3】抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象.  

【典例4】（2022•山西模拟）将抛物线y＝x2﹣4x﹣3先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）

A．y＝x2﹣4 B．y＝（x﹣4）2﹣10 

C．y＝（x﹣4）2﹣4 D．y＝x2﹣10

1．（2021秋•祥云县期末）若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（0，1），那么这个二次函数的解析式可以为 　            　（只需写一个）．

2．（2021秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　          　．

3．（2020秋•永嘉县校级期末）一条抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2﹣4x+1 

C．y＝﹣4x2﹣4x+2 D．y＝﹣4x2+4x+2

4．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）

A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1

5．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）

A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2

6．（2022•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 　     　．

7．（2022•青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

专题13 二次函数解析式的确定及图像变换

考点1： 二次函数解析式常见形式

（1）一般式：（a,b,c为常数，a0）；

（2）顶点式：2（a,h,k为常数，a0）；

（3）交点式：（x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a0）

解题思路：

根据题中所给的条件选择合适的形式：

①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为

②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值 时，可设函数解析式为

2；

③当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为）

考点2：平移

平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k）

（3）从函数y=ax²平移烦方法如下：

注意：（1）上下平移   若原函数为

注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。

（2）左右平移

     若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形

注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。

②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。

【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．  

【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得

解得  

所以，所求函数的解析式为 ．

．

所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），

对称轴为直线x = 3．

【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.

【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，

把（2，﹣3）代入得a﹣4＝﹣3，

解得a＝1，

所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4

【典例3】抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象.  

【答案】解： 抛物线经过点(9，0)、(1，0)  

抛物线的对称轴为直线

又   抛物线过点(5，16)

点(5，16)即为抛物线的顶点

  可设二次函数的解析式为：

把点(1，0)代入得：

解得：

  二次函数的解析式为：

   列表如下：

图象如下：

【典例4】（2022•山西模拟）将抛物线y＝x2﹣4x﹣3先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　）

A．y＝x2﹣4 B．y＝（x﹣4）2﹣10 

C．y＝（x﹣4）2﹣4 D．y＝x2﹣10

【答案】A

【解答】解：y＝x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7，

当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得y＝（x﹣2+2）2﹣7+3，即y＝x2﹣4．

故选：A．

1．（2021秋•祥云县期末）若一个二次函数的图象开口向下，顶点坐标为（0，1），那么这个二次函数的解析式可以为 　            　（只需写一个）．

【答案】y＝﹣x2+1

【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，

∴可知a为负数，取a＝﹣1，

∵顶点坐标为（0，1），

∴二次函数的解析式为：y＝﹣（x﹣0）2+1＝﹣x2+1，

故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．

2．（2021秋•伊川县期末）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为　          　．

【答案】y＝﹣x2+2x+3

【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

把（0，3）代入得3＝a（0+1）（0﹣3），

解得a＝﹣1，

所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），

即y＝﹣x2+2x+3．

故答案为y＝﹣x2+2x+3．

3．（2020秋•永嘉县校级期末）一条抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（　　）

A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2﹣4x+1 

C．y＝﹣4x2﹣4x+2 D．y＝﹣4x2+4x+2

【答案】B

【解答】解：抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2+3＝﹣2x2﹣4x+1．

故选：B．

4．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）

A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1

【答案】D

【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．

故选：D．

5．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　）

A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2

【答案】A

【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移3个单位，

∴平移后的解析式为：y＝x2+3．

故选：A．

6．（2022•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 　　．

【答案】（3，5）

【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，

∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，

∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．

故答案为：（3，5）．

7．（2022•青海）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，

得：，解得：，

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

∴抛物线的顶点F的坐标为（1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝1．

当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3）．

设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），

将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，

得：，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．

当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，

∴点E的坐标为（1，﹣2），

∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．