2023高考数学二轮专题导数38讲 专题07 构造函数法解决导数不等式问题(二)

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专题07　构造函数法解决导数不等式问题(二)
考点四　构造F(x)＝f(x)±g(x)，F(x)＝f(x)g(x)，F(x)＝类型的辅助函数
【方法总结】
(1)若F(x)＝f(x)＋axn＋b，则F′(x)＝f′(x)＋naxn－1；
(2)若F(x)＝f(x)±g(x)，则F′(x)＝f′(x)±g′(x)；
(3)若F(x)＝f(x)g(x)，则F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)若F(x)＝，则F′(x)＝．
由此得到结论：
(1)出现f′(x)＋naxn－1形式，构造函数F(x)＝f(x)＋axn＋b；
(2)出现f′(x)±g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)±g(x)；
(3)出现f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝f(x)g(x)；
(4)出现f′(x)g(x)－f(x)g′(x)形式，构造函数F(x)＝．
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝3，对任意x∈R，f′(x)3x＋6的解集为(　　)
A．{x|－10，∴g(x)在R上单调递增，且g(1)＝f(1)－－＝
0，∵f(2cos x)－＋2sin2＝f(2cos x)－－＝g(2cos x)，∴f(2cos x)>－2sin2，即g(2cos x)>0，∴2cos x>1，又x∈，∴x∈．
(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f′(x)＞2x．若f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]　　　　　B．[1，＋∞)　　　　　C．(－∞，2]　　　　　D．[2，＋∞)
答案　A　解析　令G(x)＝f(x)－x2，则G′(x)＝f′(x)－2x．当x∈[0，＋∞)时，G′(x)＝f′(x)－2x＞0，∴G(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(a－2)－f(a)≥4－4a，得f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，即G(a－2)≥G(a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，知G(x)是偶函数．故|a－2|≥|a|，解得a≤1．
(5)已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)－f(x－1)3x，所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－3x>0，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为f(－x)＝f(x)，所以g(－x)＝f(－x)－x2＝f(x)－x2＝g(x)，所以g(x)是偶函数．因为f(x)－f(x－1)