2023高考数学二轮专题导数38讲 专题09 函数的最值

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专题09　函数的最值
考点一　求已知函数的最值
【方法总结】
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．
答案　－1　解析　f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1．当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0．∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1．
(2)函数f(x)＝x2＋x－2lnx的最小值为 ．
答案　　解析　因为f′(x)＝x＋1－＝(x＞0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝＋1＝．
(3)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为 ．
答案　－2e　解析　由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，故 f(x)＝x3＋nx＋2，∵f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3．∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3．故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)·(x＋3)，据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e．
(4)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．
答案　－　解析　∵f(x)的最小正周期T＝2π，∴求f(x)的最小值相当于求f(x)在[0，2π]上的最小值．f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝4cos2x＋2cosx－2＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．令f′(x)＝0，解得cosx＝或cosx＝－1，x∈[0，2π]．∴由cosx＝－1，得x＝π；由cosx＝，得x＝π或x＝．∵函数的
最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f(π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f ＝2sin＋sin＝，f ＝－，f(0)＝0，f(2π)＝0，∴f(x)的最小值为－．
(5)设正实数x，则f(x)＝的值域为________．
答案　　解析　令ln x＝t，则x＝et，∴g(t)＝，令t2＝m，m≥0，∴h(m)＝，∴h′(m)＝，令h′(m)＝0，解得m＝1，当0≤m0，函数h(m)单调递增，当m≥1时，h′(m)0．令h(x)＝x－eln x＋1(x>0)，则h′(x)＝1－＝．当x>e时，h′(x)>0，当0