2023高考数学二轮专题导数38讲 专题22 双变量含参不等式证明方法之消参减元法

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专题22　双变量含参不等式证明方法之消参减元法
【例题选讲】
[例1]　已知函数f(x)＝ax2－x－ln．
(1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，求f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
解析　(1)∵f(x)＝ax2－x－ln＝ax2－x＋ln x，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝2ax－1＋，∴k＝f′(1)＝2a．
∵f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y＝2x＋1平行，∴2a＝2，即a＝1．
∴f(1)＝0，故切点坐标为(1,0)．∴切线方程为y＝2x－2．
(2)∵f′(x)＝2ax－1＋＝，
∴由题意知方程2ax2－x＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根x1，x2，
∴Δ＝1－8a＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，∴0＜a＜．
f(x1)＋f(x2)＝ax＋ax－(x1＋x2)＋ln x1＋ln x2＝a(x＋x)－(x1＋x2)＋ln(x1x2)
＝a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(x1＋x2)＋ln(x1x2)＝ln－－1，
令t＝，g(t)＝ln t－－1，则t∈(4，＋∞)，g′(t)＝－＝＜0，
∴g(t)在(4，＋∞)上单调递减．∴g(t)＜ln4－3＝2ln2－3，即f(x1)＋f(x2)＜2ln2－3．
[例2]　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝．
当x∈∪时，f′(x)0．
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2．
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11．
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，
所以0)．
(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)>．
1．解析　(1)a＝1时，f(x)＝x2－x＋ln x，f′(x)＝x－1＋，f′(1)＝1，f(1)＝－，
∴f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝x－1，即2x－2y－3＝0．
(2)f′(x)＝x－1＋＝(a>0)．
①若a≥，则x2－x＋a≥0恒成立，f′(x)≥0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若0