2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾4 平面向量、复数

　平面向量、复数

1.平面向量的基本概念及线性运算

(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：＋＝；－＝.

(2)向量满足三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

(3)实数λ与向量a的积是一个向量，记为λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；②λ＞0时，λa与a同向；λ＜0时，λa与a反向；λ＝0或a＝0时，λa＝0.

(4)平面向量的两个重要定理

①向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

②平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.

[检验1]　设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

2.向量的平行与垂直

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0，b≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同.

[检验2]　已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，则实数λ＝________.

答案　－2

3.向量的数量积

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|2＝a2＝a·a，

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2，

cos〈a，b〉＝＝.

注意　〈a，b〉为锐角⇔a·b＞0且a，b不同向；

〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a，b≠0；

〈a，b〉为钝角⇔a·b＜0且a，b不反向.

[检验3]　(1)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)

A.2  B. 

C.0  D.－

(2)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.

答案　(1)B

(2)∪∪

4.几个向量常用结论：

①＋＋＝0⇔P为△ABC的重心；

②·＝·＝·⇔P为△ABC的垂心；

③向量λ(λ≠0)所在直线过△ABC的内心；

④||＝||＝||⇔P为△ABC的外心.

[检验4]　若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为______.

答案　直角三角形

5.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

[检验5]　复数(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A.1＋i  B.1－i

C.－1＋i  D.－1－i

答案　B

解析　因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i.故选B.