2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾8 计数原理、概率

　计数原理、概率

1.解排列、组合问题的依据是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合.

解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法.

(1)排列数公式

A＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝，其中m，n∈N*，且m≤n.当m＝n时，A＝n·(n－1)·…·2·1＝n！，规定0！＝1.

(2)组合数公式

C＝＝＝，其中m，n∈N*，m≤n.规定C＝1.

(3)组合数性质

C＝C，C＋C＝C，其中m，n∈N*，m≤n.

[检验1]　(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________.

(2)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).

答案　(1)24　(2)590

2.二项式定理

(1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cabn－1＋Cbn(n∈N*).

通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0，1，…，n)叫做二项式系数.

(2)二项式系数的性质

①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

C＝C，C＝C，C＝C，…，C＝C.

②二项式系数的和等于2n(组合数公式)，即

C＋C＋C＋…＋C＝2n.

③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

注意　二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错.

[检验2]　设的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.

答案　4

3.互斥事件有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B).

(1)公式适合范围：事件A与B互斥.

(2)P()＝1－P(A).

[检验3]　某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是________.

答案　0.2

4.古典概型

P(A)＝(其中，n为试验中可能出现的结果总数，m为事件A在试验中包含的基本事件个数).

[检验4]　从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率为________.

答案　

5.条件概率

(1)定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)乘法公式：对任意事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，称上式为概率的乘法公式.

(3)条件概率的性质：设P(A)>0，则

①P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；

③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A).

[检验5]　从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，则第2次抽到A牌的概率为________.

答案　

6.全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).

[检验6]　有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

任取一个零件，它是次品的概率为________.

答案　0.052 5

7.离散型随机变量

(1)离散型随机变量的分布列的两个性质

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；

②p1＋p2＋…＋pn＝1.

(2)均值公式

E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi.

(3)均值的性质

①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；

③若X服从两点分布，则E(X)＝p.

(4)方差公式

D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，标准差为.

(5)方差的性质

①D(aX＋b)＝a2D(X)；

②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；

③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).

(6)独立事件同时发生的概率计算公式

P(AB)＝P(A)P(B).

(7)n重伯努利试验的概率计算公式

P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.

[检验7]　若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.

答案　

8.正态分布

如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).

满足正态分布的三个基本概率的值是

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

[检验8]　(多选)正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是(　　)

A.－P(X≤0) B.－P(X≥2)

C.P(X≤2)－P(X≤0) D.－P(1≤X≤2)

答案　ABC