2023高考数学三轮专题考前回顾 回顾6 立体几何与空间向量

　立体几何与空间向量

1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”

[检验1]　如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________.

答案　2

2.简单几何体的表面积和体积

(1)S直棱柱侧＝c·h(c为底面的周长，h为高).

(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高).

(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高).

(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式

S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线长)，S圆锥侧＝πrl(r为底面半径，l为母线长)，

S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底面的半径，l为母线长).

(5)体积公式

V柱＝S·h(S为底面面积，h为高)，

V锥＝S·h(S为底面面积，h为高)，

V台＝(S＋＋S′)h(S，S′分别为上、下底面面积，h为高).

(6)球的表面积和体积

S球＝4πR2，V球＝πR3.

[检验2]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)

A.8        B.6        C.8  D.8

(2)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)

A.  B.4π 

C.2π  D.

答案　(1)C　(2)D

3.空间中的平行关系

(1)线面平行：⇒a∥α；⇒a∥α；⇒a∥α；

(2)面面平行：⇒α∥β；⇒α∥β；

⇒α∥γ；

(3)线线平行：⇒a∥b；⇒a∥b；

⇒a∥b；⇒a∥b.

[检验3]　下列条件能得出平面α∥平面β的是(　　)

A.α内有无穷多条直线都与β平行

B.直线a∥α，a∥β，且a⊄α，a⊄β

C.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α

D.α内的任何直线都与β平行

答案　D

4.空间中的垂直关系

(1)线面垂直：⇒l⊥α；

⇒a⊥β；⇒a⊥β；

⇒b⊥α；

(2)面面垂直：二面角90°；⇒α⊥β；⇒α⊥β；

(3)线线垂直：⇒a⊥b.

[检验4]　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是(　　)

A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

答案　C

5.空间向量在立体几何中的应用

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v.

(1)空间位置关系：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；

l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；

l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；

l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；

α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；

α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.

(2)空间角：①设异面直线l，m的夹角θ，则cos θ＝；

②设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝；

③设平面α，β的夹角为θ，则cos θ＝.

(3)空间距离：设A是平面α外一点，O是α内一点，则A到平面α的距离d＝.

注意　求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦.

[检验5]　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________.

答案　

6.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S侧cos θ＝S底.

[检验6]　过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.

(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点.

(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.

(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

(4)若P到AB，BC，CA三边距离相等，则点O是△ABC的________心.

答案　(1)中　(2)外　(3)垂　(4)内