2023高考数学二轮专题 微专题31 不等式

微专题31　不等式

高考定位　1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中；2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值；3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度.

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)

A.{x|－1<x<2} B.{x|－1≤x≤2}

C.{x|x<－1}∪{x|x>2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

答案　B

解析　法一　因为A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，

所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

法二　因为A＝{x|x2－x－2>0}，

所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.

2.(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则(　　)

A.ln(a－b)>0  B.3a<3b

C.a3－b3>0  D.|a|>|b|

答案　C

解析　由函数y＝ln x的图像(图略)知，

当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，

故A不正确；

因为函数y＝3x在R上单调递增，

所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；

因为函数y＝x3在R上单调递增，

所以当a>b时，a3>b3，

即a3－b3>0，故C正确；

当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确.

3.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)

A.x＋y≤1  B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2  D.x2＋y2≥1

答案　BC

解析　因为ab≤≤(a，b∈R)，

由x2＋y2－xy＝1可变形为

(x＋y)2－1＝3xy≤3，

解得－2≤x＋y≤2，

当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，

当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；

由x2＋y2－xy＝1可变形为

(x2＋y2)－1＝xy≤，

解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；

因为x2＋y2－xy＝1可变形为＋y2＝1，

设x－＝cos θ，y＝sin θ，

所以x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，

因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋

＝＋sin∈，

所以当x＝，y＝－时满足等式，

但是x2＋y2≥1不成立，所以D错误.

4.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.

答案　

解析　法一　由题意知y≠0.

由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，

所以x2＋y2＝＋y2＝＝≥×2＝，

当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号.

所以x2＋y2的最小值为.

法二　设x2＋y2＝t＞0，则x2＝t－y2.

因为5x2y2＋y4＝1，

所以5(t－y2)y2＋y4＝1，

所以4y4－5ty2＋1＝0.

由Δ＝25t2－16≥0，

解得t≥.

故x2＋y2的最小值为.

热点一　不等式的性质及应用

不等式的常用性质

(1)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；

a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(2)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd＞0.

(3)a＞b＞0⇒an＞bn，＞(n∈N，n≥2).

(4)a＞b，ab＞0⇒＜.

例1 (1)(多选)(2022·苏州模拟)若a＞b＞0＞c，则(　　)

A.＞  B.＞

C.ac＞bc  D.a－c＞2

(2)(2022·长沙模拟)已知a，b，c满足a＞b＞c，且ac＞0，则下列选项中一定能成立的是(　　)

A.ab＞ac  B.c(b－a)＞0

C.ab(a－c)＞0  D.cb2＞ca2

答案　(1)ABD　(2)C

解析　(1)由于a＞b＞0＞c，

对于A：－＝c＝c>0，

故－＞0，∴＞，故A正确；

对于B：由于a＞b＞0，所以＞，故B正确；

对于C：当a＞b＞1时，ac<bc，故C错误；

对于D：由于a＞b＞0＞c，所以a－c＞b－c＞2＝2，故D正确.

(2)取a＝－1，b＝－2，c＝－3，

则ab＝2＜ac＝3，cb2＝－12＜ca2＝－3，排除A，D；

取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1＜0，排除B；

因为a＞b＞c，且ac＞0，所以a，b，c同号，且a＞c，

所以ab(a－c)＞0.

规律方法　判断关于不等式命题真假的常用方法

(1)作差法、作商法.

(2)利用不等式的性质推理判断.

(3)利用函数的单调性.

(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题.

训练1 (1)(多选)(2022·广州模拟)设a，b，c为实数且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.＞   B.2 023a－b＞1

C.ln a＞ln b   D.a(c2＋1)＞b(c2＋1)

(2)设＜a＜1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(1－a)，p＝loga，则m，n，p的大小关系是(　　)

A.n＞m＞p  B.m＞p＞n

C.p＞n＞m  D.n＞p＞m

答案　(1)BD　(2)D

解析　(1)对于A，若a＞b＞0，则＜，所以A错误；

对于B，因为a－b＞0，所以2 023a－b＞1，所以B正确；

对于C，函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，而a，b不一定是正数，所以C错误；

对于D，因为c2＋1＞0，所以a(c2＋1)＞b(c2＋1)，所以D正确.故选BD.

(2)因为＜a＜1，

所以a2＋1－＝＞0，

－(1－a)＝＝＞0，y＝logax为减函数，

所以m＜p，p＜n.

可得n＞p＞m.

热点二　不等式的解法

不等式恒成立问题的解题方法

(1)f(x)＞a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min＞a，x∈I；f(x)＜a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max＜a，x∈I.

(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方.

(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法.

例2 (1)已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b＜0的解集是(　　)

A.(－∞，－3)∪(2，＋∞)   B.(－3，2)

C.(－∞，－2)∪(3，＋∞)   D.(－2，3)

(2)若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]都成立，则x的取值范围为(　　)

A.(－∞，－8]∪[3，＋∞) B.(－∞，0)∪[1，＋∞)

C.[－8，6] D.(0，3]

答案　(1)A　(2)A

解析　(1)由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，

得b＝2a且a＜0，

则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b＜0可化为x2＋x－6＞0，

即(x＋3)(x－2)＞0，

解得x＜－3或x＞2，

所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞).

(2)由题意得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈[－2，4]都成立，

则

即

解得x≥3或x≤－8.故选A.

易错提醒　求解含参不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立问题的易错点

(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况.

(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.

(3)不考虑a的符号.

训练2 (1)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对任意x∈(0，3]恒成立，则a的取值范围为(　　)

A.[－1，＋∞)  B.(3，＋∞)

C.[0，＋∞)  D.[1，＋∞)

(2)若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2)  B.(－2，＋∞)

C.(－6，＋∞)  D.(－∞，－6)

答案　(1)D　(2)A

解析　(1)由题意得，不等式－4x＋a≥－3－x2对任意x∈(0，3]恒成立，

所以a≥－x2＋4x－3对任意x∈(0，3]恒成立，

令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，

当x∈(0，3]时，g(x)∈(－3，1]，

所以a≥1，

即a的取值范围为[1，＋∞).故选D.

(2)不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，x∈(1，4).

令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，

所以g(x)＜g(4)＝－2，

所以a＜－2.

热点三　基本不等式及其应用

基本不等式求最值的三种解题技巧

(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.

(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.

(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.

例3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)

A.log2a＋log2b≥－2  　　 B.ab＋≥

C.＋≤3＋2  　　 D.2a－b＞

(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b≠0，且a＋|b|＝3，则＋的最小值为________.

答案　(1)BD　(2)3＋2

解析　(1)log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－2，A错误；

因为a>0，b>0，a＋b＝1，

所以≤＝(当且仅当a＝b时取等号)，

所以0<ab≤，

因为函数y＝x＋在上单调递减，

所以ab＋≥＋4＝，B正确；

因为(a＋b)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当＝时取等号)，

所以＋≥3＋2，C错误；

易知0<a<1，0<b<1，

所以－1<a－b<1，

所以2a－b>2－1＝，D正确.选BD.

(2)＋＝＋＋，

当b>0时，＝1，

当b<0时，＝－1.

＋＝(a＋|b|)＝≥(12＋6)

＝4＋2，

当且仅当＝，

即a＝，|b|＝时等号成立，

所以当a＝，b＝－时，

＋取得最小值，且最小值为3＋2.

易错提醒　利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件：

(1)一正二定三相等，三者缺一不可；

(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.

训练3 (1)(2022·湖州质检)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为(　　)

A.3  B.＋

C.3＋  D.3＋2

(2)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)

A.  B.2 

C.4  D.

答案　(1)D　(2)B

解析　(1)∵x＋y＝xy，

∴(x－1)(y－1)＝1，

∴＋＝＋

＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当＝时等号成立，故选D.

(2)∵对任意m，n∈(0，＋∞)，

都有m2－amn＋2n2≥0，

∴m2＋2n2≥amn，

即a≤＝＋恒成立，

∵＋≥2＝2，

当且仅当＝即m＝n时取等号，

∴a≤2，故a的最大值为2，故选B.

一、基本技能练

1.若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列说法正确的是(　　)

A.ac2＜bc2  B.＜

C.＞  D.a2＞ab＞b2

答案　D

解析　当c＝0时，A不成立；

－＝＞0，即>，B错误；

－＝＝＜0，C错误；

由a＜b＜0，得a2＞ab＞b2，D正确.

2.不等式≤x－2的解集是(　　)

A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞)

C.[2，4) D.(－∞，2)∪(4，＋∞)

答案　B

解析　当x－2＞0，即x＞2时，(x－2)2≥4，

即x－2≥2，则x≥4，

当x－2＜0，即x＜2时，(x－2)2≤4，

即－2≤x－2＜0，∴0≤x＜2，

综上，0≤x＜2或x≥4.

3.(2022·泰安质检)若不等式ax2－x－c>0的解集为，则函数y＝cx2－x－a的图象可以为(　　)

答案　C

解析　由题意可得－1和是方程ax2－x－c＝0的两个根，且a<0，

∴

解得a＝－2，c＝－1，

则y＝cx2－x－a＝－x2－x＋2＝－(x＋2)(x－1)，其图象开口向下，与x轴交于

(－2，0)，(1，0).故选C.

4.已知关于x的不等式x2－ax－6a2＞0(a＜0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，则a等于(　　)

A.－  B.－ 

C.－  D.－

答案　C

解析　x2－ax－6a2＝(x－3a)(x＋2a)＞0，

∵a＜0，∴x＞－2a或x＜3a，

∴x2＝－2a，x1＝3a，

∴x2－x1＝－5a＝5，∴a＝－.

5.已知函数f(x)＝x＋(x＜1)，下列结论正确的是(　　)

A.f(x)有最大值  B.f(x)有最大值－

C.f(x)有最小值  D.f(x)有最小值

答案　B

解析　f(x)＝＋＋＝

－＋≤－2＋＝－，当且仅当x＝－5时等号成立.

6.原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　)

A.第一种方案更划算   B.第二种方案更划算

C.两种方案一样   D.无法确定

答案　B

解析　设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升，则

方案一：两次加油平均价格为＝≥，

方案二：两次加油平均价格为＝≤，

故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算.

7.设x＞y＞z，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为(　　)

A.2  B.3 

C.4  D.5

答案　C

解析　因为x＞y＞z，n∈N*，

所以x－y＞0，y－z＞0，x－z＞0，

由＋≥，

可得n≤(x－z)＝[(x－y)＋(y－z)]

＝1＋1＋＋

≥2＋2＝4，

当且仅当x－y＝y－z时，上式取得等号，

由题意可得n≤4，即n的最大值为4.

8.已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　x∈(0，2]时，

不等式可化为ax＋<2；

当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；

当a>0时，不等式化为x＋<，

则>2＝2，

当且仅当x＝时取等号，

所以a<，即0<a<；

当a<0时，x＋>恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是.选A.

9.(多选)(2022·泰州模拟)下列函数中最小值为6的是(　　)

A.y＝ln x＋   B.y＝6|sin x|＋

C.y＝3x＋32－x   D.y＝

答案　BC

解析　对于A选项，当x∈(0，1)时，ln x<0，

此时ln x＋<0，故A不正确.

对于B选项，y＝6|sin x|＋≥2＝6，

当且仅当6|sin x|＝，

即|sin x|＝时取“＝”，故B正确.

对于C选项，y＝3x＋32－x≥2＝6，

当且仅当3x＝32－x，

即x＝1时取“＝”，故C正确.

对于D选项，y＝＝＋≥2＝6，

当且仅当＝，即x2＝－7无解，

故D不正确.故选BC.

10.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　)

A.a2＋b2≥   B.2a－b＞

C.log2a＋log2b≥－2   D.＋≤

答案　ABD

解析　因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.

对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；

对于B，2a－b＝22a－1＝×22a，因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞，故B正确；

对于C，log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2＝－2，故C错误；

对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，得＋≤，故D正确.

综上可知，正确的选项为ABD.

11.函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________.

答案　3

解析　依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c＞0，

即x2－2x－c＜0的解集为(m，m＋4)，

所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，

所以解得

12.若命题“∃x∈R，x2－2x＋m＜0”为真命题，则实数m的取值范围为________.

答案　(－∞，1)

解析　由题意可知，不等式x2－2x＋m＜0有解，

∴Δ＝4－4m＞0，m＜1，

∴实数m的取值范围为(－∞，1).

二、创新拓展练

13.(多选)(2022·苏锡常镇调研)已知正实数a，b满足a＋2b＝ab，则以下不等式正确的是(　　)

A.＋≥2  B.a＋2b≥8

C.log2a＋log2b<3  D.2a＋b≥9

答案　BD

解析　对于A，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，

所以＝1，

即＋＝1，所以A错误，

对于B，因为a>0，b>0，a＋2b＝ab，

所以a＋2b≥2＝2，

当且仅当a＝2b时取等号，

所以(a＋2b)2≥8(a＋2b)，

因为a＋2b>0，

所以a＋2b≥8，

当且仅当a＝2b时取等号，所以B正确，

对于C，若log2a＋log2b<3，

则log2a＋log2b＝log2(ab)<3＝log28，

所以ab<8，所以a＋2b<8，而由选项B可知a＋2b≥8，

所以log2a＋log2b<3不成立，所以C错误，

对于D，因为正实数a，b满足a＋2b＝ab，

由选项A知，＋＝1，

所以2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，

所以D正确，故选BD.

14.(多选)(2022·镇海中学模拟)已知函数f(x)＝下列选项正确的是(　　)

A.函数f(x)在(－2，1)上单调递增

B.函数f(x)的值域为

C.若关于x的方程[f(x)]2－a|f(x)|＝0有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

D.不等式f(x)－ax－a>0在(－1，＋∞)恰有两个整数解，则实数a的取值范围是

答案　ACD

解析　函数f(x)＝

所以函数f′(x)＝

故函数f(x)的大致图象如图1所示，故A正确，B错误；

对于D，不等式f(x)>a(x＋1)，在(－1，＋∞)上恰有两个整数解，必为x＝0，x＝1，

故解得a∈，故D正确；

对于C，如图2，函数y＝|f(x)|的图象，原方程可化为|f(x)|＝0或|f(x)|＝a，由于方程[f(x)]2－a|f(x)|＝0有3个不相等的实数根，所以只需|f(x)|＝a有两个不等实根，所以a∈，C正确，故选ACD.

15.(多选)(2022·全国名校大联考)若实数x，y满足2x＋2y＋1＝1，m＝x＋y，n＝＋，则(　　)

A.x＜0且y＜－1  B.m的最大值为－3

C.n的最小值为7  D.n·2m＜2

答案　ABD

解析　由2x＋2y＋1＝1，得2y＋1＝1－2x＞0，2x＝1－2y＋1＞0，所以x＜0且y＜－1，故A正确；

由2x＋2y＋1＝1≥2＝2，得m＝x＋y≤－3，

当且仅当x＝y＋1＝－1，即x＝－1，y＝－2时，等号成立，

所以m的最大值为－3，故B正确；

n＝＋＝(2x＋2y＋1)

＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝，即x＝y＝－log23时，等号成立，

所以n的最小值为9，故C错误；

n·2m＝·2x＋y＝2y＋2x＋1＝2－3×2y＜2，故D正确.故选ABD.

16.(2022·湖南三湘名校联考)若两个正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，且不等式x＋2y≥m2－7m恒成立，则实数m的取值范围为________.

答案　[－1，8]

解析　由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，

所以x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥8，当且仅当x＝4，y＝2时等号成立，

所以m2－7m≤8，解得－1≤m≤8.

17.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a，b，c∈R)的解集为{x|3＜x＜4}，则的取值范围为________.

答案　[4，＋∞)

解析　关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a，b，c∈R)的解集为{x|3＜x＜4}，

所以a＜0，

且3和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，由根与系数的关系知：

解得(a＜0).

所以＝＝－24a－≥

2＝4(当且仅当－24a＝－，即a＝－时等号成立)，

所以的取值范围是[4，＋∞).

18.(2022·温州测试)已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋b，若存在实数b，使得对任意的|x|≤1都有|f(x)|≤，则实数a的最大值是________.

答案　

解析　由题可得，因为存在实数b对任意的|x|≤1都有|x2＋|x－a|＋b|≤，

所以－≤x2＋|x－a|＋b≤，

即存在实数b对任意的|x|≤1都有－x2－－b≤|x－a|≤－x2－b，

由对称性可知，当实数a取得最大值时，a≥0，

令g(x)＝－x2－－b，

h(x)＝－x2＋－b，

则g′(x)＝h′(x)＝－2x.

因为y＝－x＋a的斜率为－1，

所以－2x＝－1，解得x＝，

所以g＝－－－b＝－－b.

又因为h(－1)＝－1＋－b＝－b，

即当a≥时，切线斜率k＝＝－>－1，不能满足条件；

故当0≤a<时，g(x)的零点为a，此时a最大，满足

即＝0，

由0≤a<可得a＝.