人教版数学七年级下册同步练习 第6章 实数 章末复习

第6章  实数  章末复习

【知识网络】

【知识梳理】

一、算术平方根

1．算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作√a。0的算术平方根为0；

2．平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根(或二次方根)。

3．开平方：求一个数a的平方根的运算(与平方互为逆运算)

4．平方根性质：正数有2个平方根（一正一负），它们是互为相反数；负数没有平方根。

二、立方根

1．立方根：如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

2．开立方：求一个数a的立方根的运算(与立方互为逆运算)。

3．立方根性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。0的立方根是0；

三、实数

1．无理数：无限不循环小数。如：π、√2、√3

2．实数：有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。

【方法指导】 实数与数轴上的点是一一对应的,就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示;反之,数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上任一点表示的数,不是有理数,就是无理数.

【考点突破】

考点1：算术平方根、平方根与立方根

1．下列各式中错误的是(　　)

A.＝0.2  B.＝－  C.＝±  D．±＝±15

2．－8的立方根与4的算术平方根的和是(　　)

A．0  B．4  C．－4  D．0或－4

3．若a2＝36,b3＝8,则a＋b的值是(　　)

A.8或－4 B.8或－8   C.－8或－4 D.4或－4

4．下列说法中正确的是(　　)

A．27的立方根是±3

B.的平方根是±4

C．9的算术平方根是3

D．一个数的立方根等于其算术平方根的数是1

5．已知＝0.7697，则＝       .

6．若实数a，b满足|a＋1|＋＝0，则3ab＝      .

7．我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/小时,当发生交通事故时,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度.所用的经验公式是v＝16,其中v表示车速(千米/小时),d表示刹车后车轮滑过的距离(米),f表示摩擦系数.在某次交通事故中,经测量,d＝51.2米,f＝1.25,请你帮助判断一下,肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度?

考点2：实数与数轴的关系

8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|－|b|可化简为(　　)

A．a－b  B．b－a  C．a＋b  D．－a－b

9．如图，表示的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间(　　)

A．C与D  B．A与B    C．A与C  D．B与C

10．如图,数轴上的点B表示实数b,若实数a满足不等式b＜a＜－b,则a的值可能为(　　)

A.－1 B.－2 C.2  D.3

11．如图,已知实数－,－1,,4,其在数轴上所对应的点分别为B,A,D,C.

(1)点C与点D之间的距离为　             ; 

(2)记点A与点B之间距离为a,点C与点D之间距离为b,求a－b的值.

考点3：实数的大小比较

12．关于,2大小比较正确的是(　　)

A.＜2＜ B.＜2   C.＜2 D.2＜

13．下列式子中错误的是(　　)

A．－2<－1  B．π<  C.>  D.>

14．下列数中,在之间的是(　　)

A.3         B.4          C.5           D.6

考点4：实数的运算

15．计算:

(1)(－)2－;

(2)|2－|－＋(－)2022;

(3)20×＋3÷.

(4)＋＋＋.

考点5：实数的应用

16．魔方又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为64 cm3.

(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；

(2)图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积   cm2，边长为    cm.

17．如图,将一块面积为16米2的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2米2的小正方形,剩下的部分刚好能围成一个无盖的运输箱.求这个运输箱的底边长和高.

18．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一个长方形纸板的面积为32 cm2.

(1)求正方形纸板的边长;

(2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为27 cm3的正方体,求剩余纸板的面积

【综合练习】

19．【2022·南充】若为整数，x为正整数，则x的值是____________．

20．【2022·洛阳第二外国语学校模拟】已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根．

21．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；

(2)若与互为相反数，求1－的值．

22．如图①，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，体积为64.

(1)如图①，求出这个魔方的棱长；

(2)如图①，图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长；

(3)如图②，把正方形ABCD放到数轴上，使得点A的对应数为－1，那么D在数轴上表示的数为         .

参考答案

【知识网络】

【考点突破】

考点1：算术平方根、平方根与立方根

1．下列各式中错误的是(　C　)

A.＝0.2  B.＝－  C.＝±  D．±＝±15

2．－8的立方根与4的算术平方根的和是(　A　)

A．0  B．4  C．－4  D．0或－4

3．若a2＝36,b3＝8,则a＋b的值是(　A　)

A.8或－4 B.8或－8   C.－8或－4 D.4或－4

4．下列说法中正确的是(　C　)

A．27的立方根是±3

B.的平方根是±4

C．9的算术平方根是3

D．一个数的立方根等于其算术平方根的数是1

5．已知＝0.7697，则＝7.697.

6．若实数a，b满足|a＋1|＋＝0，则3ab＝－9.

7．我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/小时,当发生交通事故时,交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度.所用的经验公式是v＝16,其中v表示车速(千米/小时),d表示刹车后车轮滑过的距离(米),f表示摩擦系数.在某次交通事故中,经测量,d＝51.2米,f＝1.25,请你帮助判断一下,肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度?

解:根据题意,得v＝16＝16＝16×8＝128(千米/小时).

因为128＞120,所以肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.

考点2：实数与数轴的关系

8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|－|b|可化简为(　C　)

A．a－b  B．b－a  C．a＋b  D．－a－b

9．如图，表示的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间(　A　)

A．C与D  B．A与B    C．A与C  D．B与C

10．如图,数轴上的点B表示实数b,若实数a满足不等式b＜a＜－b,则a的值可能为(　A　)

A.－1 B.－2 C.2  D.3

11．如图,已知实数－,－1,,4,其在数轴上所对应的点分别为B,A,D,C.

(1)点C与点D之间的距离为　             ; 

【答案】4－

(2)记点A与点B之间距离为a,点C与点D之间距离为b,求a－b的值.

解:(2)由题意,得点A与点B之间距离a＝|－1＋|＝－1,

由(1)可知b＝4－,∴a－b＝(－1)－(4－)＝－1－4＋＝2－5.

考点3：实数的大小比较

12．关于,2大小比较正确的是(　A　)

A.＜2＜ B.＜2   C.＜2 D.2＜

13．下列式子中错误的是(　C　)

A．－2<－1  B．π<  C.>  D.>

14．下列数中,在之间的是(　C　)

A.3         B.4          C.5           D.6

考点4：实数的运算

15．计算:

(1)(－)2－;

解:原式＝－1.

(2)|2－|－＋(－)2022;

解:原式＝－0.5.

(3)20×＋3÷.

解:原式＝－5.

(4)＋＋＋.

解：原式＝0.9＋0.09－1＋0.6

＝0.59.

考点5：实数的应用

16．魔方又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”、法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为64 cm3.

(1)求组成这个魔方的小立方体的棱长；

解：(1)组成这个魔方的小立方体的棱长为＝1(cm)．

(2)图中阴影部分是一个正方形，则该正方形的面积10cm2，边长为 cm.

17．如图,将一块面积为16米2的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2米2的小正方形,剩下的部分刚好能围成一个无盖的运输箱.求这个运输箱的底边长和高.

解:由题意可得大正方形的边长为4米,小正方形的边长为米,

则这个运输箱的底边长为(4－2)米,高为米.

18．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一个长方形纸板的面积为32 cm2.

(1)求正方形纸板的边长;

(2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为27 cm3的正方体,求剩余纸板的面积

解:(1)根据题意,得＝8(cm),

即正方形纸板的边长为8 cm.

(2)根据题意,拼成的正方体的边长＝＝3(cm),

则拼成正方体需要纸板的面积＝3×3×6＝54(cm2),

剩余纸板的面积＝32×2－54＝10(cm2).

答:剩余纸板的面积为10 cm2.

【综合练习】

19．【2022·南充】若为整数，x为正整数，则x的值是____________．

【点拨】∵8－x≥0，x为正整数，∴1≤x≤8且x为正整数．

∵为整数，∴＝0或1或2.

当＝0时，x＝8；当＝1时，x＝7；

当＝2时，x＝4.

综上，x的值是4或7或8.

20．【2022·洛阳第二外国语学校模拟】已知一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，求这个正数的立方根．

解：因为一个正数的两个平方根分别是x＋3和x－1，

所以x＋3＋x－1＝0，解得x＝－1.

所以这个正数是(x＋3)2＝4.

所以这个正数的立方根是

21．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；

解：(1)因为2＋(－2)＝0，且23＝8，(－2)3＝－8，

有8＋(－8)＝0，所以结论成立．

即“若两个数的立方根互为相反数，

则这两个数也互为相反数”是成立的．(举例不唯一)

(2)若与互为相反数，求1－的值．

由(1)验证的结果知，当＋＝0时，1－2x＋3x－5＝0，解得x＝4.所以1－＝1－＝1－2＝－1.

22．如图①，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，体积为64.

(1)如图①，求出这个魔方的棱长；

(2)如图①，图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长；

(3)如图②，把正方形ABCD放到数轴上，使得点A的对应数为－1，那么D在数轴上表示的数为         .

解：(1)∵＝4，∴这个魔方的棱长为4；

(2)∵魔方的棱长为4，∴小立方体的棱长为2，∴阴影部分面积为×2×2×4＝8，边长为2；

(3)－1－2.