2023广东省大湾区高三第一次联合模拟考试数学试题PDF版含答案
展开2023届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | B | D | C | B | A | B | C | A |
二、选择题：本题共4小题，每小题5分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | AC | AD | BC | AC |
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 14． 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）
解答：(1) 由题可得， ……2分
故 . ……4分
(2) 且，
故 ……5分
. ……7分
……8分
. ……10分
18.（12分）
解：（１）由条件及正弦定理可得
……1分
即
故
则有 ……3分
又
故有，
或（舍去），
或（舍去）. ……5分
则，又
所以. ……6分
（２） 设, 在和中,由正弦定理可得
……8分
……9分
……10分
……11分
……12分
19．（12分）
解：（１）连接交于点, 连接 ……2分
为三棱柱
为平行四边形, 点为的中点
又为的中点
……4分
又
. ……6分
（2）解法1 ：
，
……7分
以为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系，
,,,,,
……8分
即平面的一个法向量为 ……9分
设平面的法向量为，则
……10分
设平面与平面所成夹角为，
……11分
平面与平面所成夹角的余弦值是 . ……12分
解法2： 设点为的中点, 点为的中点,
连接交于点, 连接,
设点为的中点, 连接.
点为的中点, 点为的中点
为的中点
为矩形，
又， ……7分
中, , 可得
为等腰直角三角形, 其中
而点为的中点， ……8分
点为的中点, 点为的中点
……9分
又中, , 点为的中点
中, ，且点为的中点
即为平面与平面所成的夹角 ……10分
中, ……11分
……12分
20．（12分）
解：（1）由已知， ……2分
所以
； ……5分
（2）由已知，所以，， ……7分
若，则，即，
即. ……8分
由切比雪夫不等式， ……10分
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250. ……12分
21．（12分）
解：（1）令，
，，，
……2分
又
……3分
……4分
同理可得. ……5分
，
. ……6分
（2） 令，由条件知. ……7分
……8分
……10分
，
……11分
当时, 取得最大值. ……12分
22．（12分）
解：（1）证明：（1）的定义域为 ………1分
，令，得：， ……… 2分
当变化时的关系如下表：
|
|
在，上单调递减；在上单调递增. ………4分
（2）证明：要证，
只需证：
根据，只需证： ………6分
不妨设，由得：；
两边取指数，，化简得： ………7分
令：，,根据（1）得
在，上单调递减；在上单调递增（如下图所示），
由于在上单调递减，在上单调递增，要使且，则必有，即
由得：. ………8分
要证，只需证：，
由于在上单调递增，要证：,
只需证：， …………9分
又，只需证：， …………10分
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，即证，
令，，
只需证：，
，
令
，上单调递减，
所以，
所以
所以上单调递减，所以
所以
所以：. ……12分
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