2023年高考数学押题卷(三)含答案

这是一份2023年高考数学押题卷(三)含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤xx>z
C．z>x>y D. x>z>y
5．若(2x＋1)n的展开式中x3项的系数为160，则正整数n的值为( )
A．4 B. 5 C．6 D. 7
6．函数f(x)＝(x－ eq \f(1,x) )cs x在其定义域上的图象大致是( )
A． B．
C． D．
7．如图(1)，正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱长为1，若将正方体绕着体对角线AC1旋转，则正方体所经过的区域构成如图(2)所示的几何体，该几何体是由上、下两个圆锥和单叶双曲面构成，则其中一个圆锥的体积为( )
A． eq \f(2\r(3)π,27) B. eq \f(π,9) C. eq \f(\r(3)π,9) D. eq \f(π,3)
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P是C上位于第一象限内的一点，若C在点P处的切线与x轴交于M点，与y轴交于N点，则与|PF|相等的是( )
A．|MN| B．|FN| C．|PM| D．|ON|
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A．P(A)＝ eq \f(1,3) B. 事件A和事件B互为对立事件
C．P(B|A)＝ eq \f(1,2) D. 事件A和事件B相互独立
10．已知函数f(x)＝cs (2ωx－ eq \f(π,6) )(ω>0)的最小正周期为 eq \f(π,2) ，将f(x)的图象向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．g(0)＝0 B. g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) 单调递增
C．g(x)的图象关于x＝－ eq \f(π,4) 对称 D. g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,3))) 上的最大值是1
11．椭圆C： eq \f(x2,4) ＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，点Q在以M(－2，4)为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的离心率为 eq \f(1,2)
B．|PF1|·|PF2|的最大值为4
C．过点M的直线与椭圆C只有一个公共点，此时直线方程为15x＋16y－34＝0
D．|PQ|－|PF2|的最小值为 eq \r(23－4\r(3)) －6
12.
如图，直四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中正确的有( )
A．平面α截直四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1所得截面的形状为四边形
B．平面α截直四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1所得截面的面积为 eq \f(7\r(3),2)
C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25
D．点B到平面α的距离与点A1到平面的距离之比为1∶2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，设向量a，b满足 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋b，则|3a＋b|＝________．
14. 若函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)是偶函数，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(4,b) 的最小值为________．
15．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位，亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0为t＝0时的P值．假定P0＝2，那么在t＝10时，GDP增长的速度大约是________．(单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年)注：1.110≈2.59，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x.
16．已知函数f(x)＝ eq \f(1＋ln x,x) ，若对∀x1，x2∈(1，＋∞)，x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤k|ln x1－ln x2|，则k的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c, 已知a2－c2＝2b(b cs B＋a cs C).
(1)求角B；
(2)若b＝2 eq \r(3) ， eq \f(2cs C－\r(3),sin C) ＝ eq \f(\r(3)－2cs A,sin A) ， 求△ABC的面积．
18．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an·an＋1＝9n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg\s\d9(\f(1,3))an，n为奇数,an－1，n为偶数)) ，求数列{bn}的前2n项和S2n.
19．(12分)如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足 eq \(BM,\s\up6(→)) ＝2 eq \(MA,\s\up6(→)) ， eq \(BN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→)) ，如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．
(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)给出三个条件：①A′M⊥CN；②平面A′MN⊥平面BCNM；③四棱锥A′ ­ BCNM的体积为 eq \f(7\r(3),12) ，从中任选一个，求平面A′BC和平面A′CN的夹角的余弦值．
20．(12分)在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分．已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为 eq \f(5,6) ，答错的概率均为 eq \f(1,6) ；对于第三道题，答对和答错的概率均为 eq \f(1,2) ；对于最后一道题，答对的概率为 eq \f(1,3) ，答错的概率为 eq \f(2,3) .
(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；
(2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为X，求X的分布列．
21．(12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx.
(1)当a＝0，b＝1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝ eq \r(13) x，它的右顶点与抛物线Γ：y2＝4 eq \r(3) x的焦点重合，经过点A(－9，0)且不垂直于x轴的直线与双曲线C交于M、N两点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点M是线段AN的中点，求点N的坐标；
(3)设P、Q是直线x＝－9上关于x轴对称的两点，求证：直线PM与QN的交点必在直线x＝－ eq \f(1,3) 上．
2023年高考数学押题卷(三)
1．解析：因为A＝{x|－2≤x|PM|＝|MN|.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，P(A)＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) ，可得A错误；
对于B，事件B第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，
就可以使得两次向下的数字之和为奇数，可知事件A和事件B不是对立事件，
可得B错误；
对于C，由P(AB)＝ eq \f(2,4) × eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,4) ，可得P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(1,2)) ＝ eq \f(1,2) ，
可得C正确；
对于D选项，由P(B)＝ eq \f(2,4) × eq \f(2,4) ＋ eq \f(2,4) × eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) ，可得P(A)P(B)＝P(AB)，
可知事件A和事件B相互独立，可得D正确；故选CD.
答案：CD
10．解析：由题意 eq \f(2π,2ω) ＝ eq \f(π,2) ，ω＝2，所以f(x)＝cs (4x－ eq \f(π,6) )，
g1(x)＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4（x＋\f(π,6)）－\f(π,6))) ＝cs (4x＋ eq \f(π,2) )＝－sin 4x，g(x)＝－sin 2x，
g(0)＝0，A正确；
x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) 时，2x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，y＝sin 2x递增，g(x)递减，B错；
g(－ eq \f(π,4) )＝－sin (－ eq \f(π,2) )＝1是最大值，C正确；
x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(π,3))) 时，2x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3))) ，y＝sin 2x的最小值是－ eq \f(1,2) ，g(x)的最大值是 eq \f(1,2) ，D错；故选AC.
答案：AC
11．解析：对于选项A，由椭圆C的方程知a＝2，b＝1，c＝ eq \r(3) ，
所以离心率e＝ eq \f(\r(3),2) ，故选项A不正确；
对于选项B, 由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤( eq \f(|PF1|＋|PF2|,2) )2＝4，
即当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1|·|PF2|的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C, 当直线的斜率不存在时，所求直线为x＝－2，满足条件，故选项C错误；
对于选项D, 圆M：(x＋2)2＋(y－4)2＝4，
所以|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(4－|PF1|)≥|QF1|－4≥|MF1|－2－4＝ eq \r(23－4\r(3)) －6，故选项D正确；故选BD.
答案：BD
12．解析：
对A，延长DA，DC交直线EF于P，Q，连接D1P，D1Q，交棱AA1，CC1于M，N，
连接D1M，ME，D1N，NF可得五边形，故A错误；
对B，由平行线分线段成比例可得，AP＝BF＝1，
故DP＝DD1＝3 ，则△DD1P为等腰三角形，由相似三角形可知：
AM＝AP＝1，A1M＝2，则D1M＝D1N＝2 eq \r(2) ，ME＝EF＝FN＝ eq \r(2) ，
连接MN，易知MN＝2 eq \r(2) ，
因此五边形D1MEFN可以分为等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，
等腰梯形MEFN的高h＝ eq \r(（\r(2)）2－（\f(2\r(2)－\r(2),2)）2) ＝ eq \f(\r(6),2) ，
则等腰梯形MEFN的面积为 eq \f(\r(2)＋2\r(2),2) × eq \f(\r(6),2) ＝ eq \f(3\r(3),2) ，
又S△D1MN＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(2) × eq \r(6) ＝2 eq \r(3) ，
所以五边形D1MEFN的面积为 eq \f(3\r(3),2) ＋2 eq \r(3) ＝ eq \f(7\r(3),2) ，故B正确；
记平面将直四棱柱分割成上下两部分的体积分别为V1，V2，
则V2＝VD1－DPQ－VM－PAE－VN－CFQ＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×3×3×3－ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×1×1×1－ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×1×1×1＝ eq \f(25,6) ，
所以V1＝VABCD－A1B1C1D1－V2＝12－ eq \f(25,6) ＝ eq \f(47,6) ，V1∶V2＝47∶25，故C正确；
对D，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等，由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1 到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1 到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：方法一： eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋b－a＝b，则| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝|b|＝1，|a|＝1，而| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝|a＋b|＝1，
两边平方，可得2a·b＝－1，|3a＋b|2＝9＋6a·b＋1＝7，
所以|3a＋b|＝ eq \r(7) .
方法二：因为|3a＋b|2＝|2a＋a＋b|2＝|2 eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) |2＝4 eq \(AB,\s\up6(→)) 2＋4 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) 2＝4＋2＋1＝7，
所以|3a＋b|＝ eq \r(7) .
答案： eq \r(7)
14．解析：由f(x)为偶函数可得f(－x)＝f(x)，即 eq \f(1,ax) ＋ eq \f(1,bx) ＝ax＋bx，
所以(ax＋bx)[(ab)x－1]＝0.
因为x∈R，且a>0，b>0，a≠1，b≠1，
所以ab＝1，
则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(4,b) ≥2 eq \r(\f(1,a)×\f(4,b)) ＝4，
当且仅当 eq \f(1,a) ＝ eq \f(4,b) ，即a＝ eq \f(1,2) ，b＝2时， eq \f(1,a) ＋ eq \f(4,b) 取最小值4.
答案：4
15．解析：由题可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，
所以P′(t)＝2×1.1t ln 1.1，
所以P′(10)＝2×1.110ln 1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，
即GDP增长的速度大约是0.52.
答案：0.52
16．解析：f′(x)＝－ eq \f(ln x,x2) ，则当01时，f′(x)