高考数学二轮复习专项分层特训微专题2与平面向量数量积有关的最值问题含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题2与平面向量数量积有关的最值问题含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·江苏南通模拟]已知向量a，b满足a＝( eq \r(3) ，1)，a·b＝4，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) 的最小值为( )
A．1 B． eq \r(2)
C． eq \r(3) D．2
2．[2022·福建泉州模拟]在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ，x＋y＝6，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→)))) 的最小值为( )
A．1 B．2
C． eq \r(5) D．2 eq \r(5)
3．[2022·湖南长沙一模]在一个边长为2的等边三角形ABC中，若点P是平面ABC(包括边界)中的任意一点，则 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) 的最小值是( )
A．－ eq \f(5,2) B．－ eq \f(4,3)
C．－1 D．－ eq \f(3,4)
4．[2022·山东济南模拟]已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝ eq \r(2) ，且a·b＝1.若|c|＝2，则(a＋b)·c的最大值为( )
A．2 eq \r(5) B．10
C．2 D．5
5．[2022·河北石家庄二中模拟]折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) 的最小值是( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
6．[2022·福建莆田模拟]已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋(2－2λ) eq \(AC,\s\up6(→)) (λ∈R)，则 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) 的最小值为( )
A．16 B．12
C．5 D．4
二、多项选择题
7．[2022·湖北卓越高中联考]正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AE,\s\up6(→)) ，则( )
A．λ最大值为 eq \f(1,2)
B．μ最大值为1
C． eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) 最大值是2
D． eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) 最大值是 eq \r(5) ＋2
8．[2022·广东广州二模]如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB＝ eq \f(π,2) ，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD＝1，点E为 eq \(AB,\s\up8(︵)) 上的任意一点，则下列结论正确的是( )
A． eq \(OE,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的最小值为0
B． eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) 的最小值为1－ eq \r(2)
C． eq \(EC,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) 的最大值为1
D． eq \(EC,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) 的最小值为0
三、填空题
9．[2022·湖北襄阳二模]已知非零向量a，b满足a＝(1，2)，b＝(t，t＋ eq \f(1,t) )(t>0)，则a·b的最小值为________．
10．[2022·山东临沂三模]边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AF,\s\up6(→)))) ，若点P是其内部一点(包含边界)，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AM,\s\up6(→)) 的最大值是________．
11．[2022·山东菏泽二模]已知半径为1的圆O上有三个动点A，B，C，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝ eq \r(2) ，则 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) 的最小值为________．
12．[2022·广东佛山模拟]在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ eq \r(3) ，点P在AB边上，则向量 eq \(CP,\s\up6(→)) 在向量 eq \(CB,\s\up6(→)) 上的投影向量的长度是______， eq \(CP,\s\up6(→)) · eq \(PD,\s\up6(→)) 的最大值是________．
四、解答题
13．[2022·山东淄博模拟]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(tan A－sin C)(tan B－sin C)＝sin 2C.
(1)求证：c2＝ab；
(2)若a＋b＝3，求 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) 的最小值．
微专题2 与平面向量数量积有关的最值问题
1．解析：∵ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) ＝2，∴a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs θ＝2))b)) cs θ＝4，
其中θ为向量a，b的夹角，
即|b|＝ eq \f(2,cs θ) ，当cs θ＝1时，|b|有最小值2，故选D.
答案：D
2．解析： eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(1，0)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(3，4)，
则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(x＋3y，4y)，
由x＋y＝6，得x＝6－y，则 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(x＋3y，4y)＝(2y＋6，4y)，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(2y＋5，4y)，
则| eq \(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（2y＋5）2＋（4y）2) ＝ eq \r(20y2＋20y＋25)
＝ eq \r(20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,2)))2＋20) ，
当y＝－ eq \f(1,2) 时，| eq \(AC,\s\up6(→)) |min＝2 eq \r(5) .故选D.
答案：D
3．解析：如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝(－1－x，－y)， eq \(PC,\s\up6(→)) ＝(1－x，－y)，
∴ eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时取等号，故选C.
答案：C
4．解析：设a＋b，c夹角为θ，则(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cs θ≤|a＋b|·|c|＝ eq \r(|a|2＋|b|2＋2a·b) ·|c|＝2 eq \r(5) ，
当a＋b，c同向即θ＝0时取等．故选A.
答案：A
5．解析：以O为原点， eq \(OB,\s\up6(→)) 为x轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(－1， eq \r(3) )，B(2，0)，设E(cs θ，sin θ)，0°≤θ≤120°，
eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝(－1－cs θ， eq \r(3) －sin θ)·(2－cs θ，－sin θ)
＝(－1－cs θ)·(2－cs θ)－( eq \r(3) －sin θ)·sin θ
＝－ eq \r(3) sin θ－cs θ－1＝－2sin (θ＋30°)－1，
所以当θ＝60°时， eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) 取得最小值－2－1＝－3.故选C.
答案：C
6．解析：如图，延长AC到D，使得 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝2 eq \(AC,\s\up6(→)) .
因为 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋(2－2λ) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋(1－λ) eq \(AD,\s\up6(→)) ，所以点P在直线BD上．
取线段AC的中点O，连接OP，
则 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) ＝( eq \(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \(OA,\s\up6(→)) )·( eq \(PO,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )＝| eq \(PO,\s\up6(→)) |2－| eq \(OA,\s\up6(→)) |2＝| eq \(PO,\s\up6(→)) |2－4.
显然当OP⊥BD时， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(PO,\s\up6(→)))) 取得最小值，
因为BO＝2 eq \r(3) ，OD＝6，则BD＝4 eq \r(3) ，所以| eq \(PO,\s\up6(→)) |min＝ eq \f(2\r(3)×6,4\r(3)) ＝3，
所以 eq \(PA,\s\up6(→)) · eq \(PC,\s\up6(→)) 的最小值为32－4＝5.故选C.
答案：C
7．解析：以AB中点O为原点建立平面直角坐标系，A(－1，0)，D(－1，2)，E(1，1)，设∠BOP＝α，
则P(cs α，sin α)， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(cs α＋1，sin α)， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(0，2)，
由 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AE,\s\up6(→)) ，得2μ＝cs α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π)) ，
λ＝ eq \f(1,4) (2sin α－cs α－1)＝ eq \f(\r(5),4) sin (α－θ)－ eq \f(1,4) ≤ eq \f(\r(5)－1,4) ，故A错；
α＝0时μmax＝1，故B正确；
eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AD,\s\up6(→)) ＝2sin α≤2，故C正确；
eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AE,\s\up6(→)) ＝sin α＋2cs α＋2＝ eq \r(5) sin (α＋φ)＋2≤ eq \r(5) ＋2，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
8．解析：
以O为原点建立如图所示的直角坐标系，所以B(0，1)，A(1，0)，
设∠EOA＝θ，则E(cs θ，sin θ)(θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) )， eq \(OE,\s\up6(→)) ＝(cs θ，sin θ)，
eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－1，1)，所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(OE,\s\up6(→)) ＝sin θ－cs θ＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))) ，
因为θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以θ－ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) ，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))) ，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) · eq \(OE,\s\up6(→)) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1)) ， eq \(OE,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的最小值为－1，故A错误；
eq \(EA,\s\up6(→)) ＝(1－cs θ，－sin θ)， eq \(EB,\s\up6(→)) ＝(－cs θ，1－sin θ)，
所以 eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ＝－cs θ＋cs 2θ－sin θ＋sin 2θ＝1－ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))) ，
因为θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以θ＋ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) ，所以sin (θ＋ eq \f(π,4) )∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) ，
所以1－ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，0)) ， eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\r(2)，0)) ，
eq \(EA,\s\up6(→)) · eq \(EB,\s\up6(→)) 的最小值为1－ eq \r(2) ，故B正确；
设C(t，0)(t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)) )，又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(CD)) ＝1，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(OD)) ＝ eq \r(1－t2) ，可得D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(1－t2))) ，
eq \(EC,\s\up6(→)) ＝(t－cs θ，－sin θ)， eq \(ED,\s\up6(→)) ＝(－cs θ， eq \r(1－t2) －sin θ)，
所以 eq \(EC,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) ＝－t cs θ＋cs 2θ－ eq \r(1－t2) sin θ＋sin 2θ＝1－(t cs θ＋ eq \r(1－t2) sin θ)
＝1－sin (θ＋φ)，其中cs φ＝ eq \r(1－t2) ，sin φ＝t，
又t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)) ，所以cs φ，sin φ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)) ，所以φ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，φ＋θ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π)) ，
sin (φ＋θ)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)) ，－sin (φ＋θ)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，0)) ，所以 eq \(EC,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1)) ，
eq \(EC,\s\up6(→)) · eq \(ED,\s\up6(→)) 的最小值为0，故CD正确．故选BCD.
答案：BCD
9．解析：因为a·b＝t＋2t＋ eq \f(2,t) ＝3t＋ eq \f(2,t) ，t>0，故3t＋ eq \f(2,t) ≥2 eq \r(3t·\f(2,t)) ＝2 eq \r(6) ，
当且仅当3t＝ eq \f(2,t) 时，即t＝ eq \f(\r(6),3) 时取得最小值．
答案：2 eq \r(6)
10．解析：由题，作图如下
因为 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AF,\s\up6(→)) )，所以M为线段BF的中点，
由边长为1的正六边形ABCDEF，知AM＝ eq \f(1,2) ，
因为点P是正六边形ABCDEF内部一点(包含边界)，
显然，当点P与点D重合时， eq \(AP,\s\up6(→)) 在 eq \(AM,\s\up6(→)) 方向上的投影最大，且两者同向共线，
又因为AD＝2，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AP,\s\up6(→))·\(AM,\s\up6(→)))) max＝2× eq \f(1,2) ×1＝1.
答案：1
11．解析：因为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB)) ＝ eq \r(2) ，又|OA|＝|OB|＝1，所以|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，所以∠AOB＝ eq \f(π,2) ，
以O为原点，OA，OB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系：
则A(1，0)，B(0，1)，设C(x，y)，则x2＋y2＝1，
eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(x－1，y)， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(x，y－1)，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) ＝x(x－1)＋y(y－1)＝x2＋y2－x－y＝－x－y＋1，
设－x－y＋1＝t，即x＋y＋t－1＝0，
依题意直线x＋y＋t－1＝0与圆有交点，
所以 eq \f(|t－1|,\r(1＋1)) ≤1，得1－ eq \r(2) ≤t≤1＋ eq \r(2) ，
所以 eq \(AC,\s\up6(→)) · eq \(BC,\s\up6(→)) 的最小值为1－ eq \r(2) .
答案：1－ eq \r(2)
12．解析：由题意可得|| eq \(CP,\s\up6(→)) |·cs ∠PCB|＝| eq \(CB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) ，
即向量 eq \(CP,\s\up6(→)) 在向量 eq \(CB,\s\up6(→)) 上的投影向量的长度是 eq \r(3) ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设P(x，0)，(0≤x≤2) ，则A(0，0)，B(2，0)，C(2， eq \r(3) )，D(0， eq \r(3) )，
故 eq \(CP,\s\up6(→)) ＝(x－2，－ eq \r(3) )， eq \(PD,\s\up6(→)) ＝(－x， eq \r(3) )，
则 eq \(CP,\s\up6(→)) · eq \(PD,\s\up6(→)) ＝－x2＋2x－3＝－(x－1)2－2，
当x＝1∈[0，2]时， eq \(CP,\s\up6(→)) · eq \(PD,\s\up6(→)) 的最大值为－2 .
答案： eq \r(3) －2
13．解析：(1)证明：因为(tan A－sin C)(tan B－sin C)＝sin 2C，
所以tan A tan B－sin C(tan A＋tan B)＋sin 2C＝sin 2C，
所以tan A tan B＝sin C(tan A＋tan B)，即 eq \f(sin A sin B,cs A cs B) ＝sin C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin A,cs A)＋\f(sin B,cs B))) ，
两边同时乘cs A cs B，可得sin A sin B＝sin C sin A cs B＋sin C sin B cs A，
即sin A sin B＝sin C(sin A cs B＋sin B cs A).所以sin A sin B＝sin Csin (A＋B)，
因为sin (A＋B)＝sin C，所以sin A sin B＝sin 2C，
由正弦定理可得ab＝c2，即c2＝ab.
(2)因为 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ba cs C，
所以由余弦定理可得 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ba· eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(a2＋b2－c2,2) ，
因为a＋b＝3，c2＝ab，
所以 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(（a＋b）2－2ab－c2,2) ＝ eq \f(9－3ab,2) ≥ eq \f(9,2) － eq \f(3,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) 2＝ eq \f(9,8) ，
当且仅当a＝b＝ eq \f(3,2) 时，等号成立，
所以 eq \(CA,\s\up6(→)) · eq \(CB,\s\up6(→)) 的最小值为 eq \f(9,8) .