高考数学二轮复习专项分层特训微专题15球的接、切问题含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题15球的接、切问题含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．[2022·湖南岳阳二模]已知一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为( )
A． eq \f(8\r(2),3) π B．4 eq \r(3) π
C．8π D．12π
2．[2022·福建福州模拟]在三棱锥P ­ ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，|AC|＝5，|BC|＝ eq \r(11) ，|PA|＝8，则三棱锥P ­ ABC外接球的表面积是( )
A．100π B．50π
C．144π D．72π
3．[2022·山东泰安模拟]在底面是正方形的四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA＝3，AB＝4，则四棱锥P ­ ABCD内切球的表面积为( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
4．[2022·山东烟台一模]如图，三棱锥V ­ ABC中，VA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AV＝2，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A.(2－ eq \r(3) )∶1 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)－3)) ∶1
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)－1)) ∶3 D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)－1)) ∶2
5．[2022·山东聊城三模]《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为4 eq \r(2) π，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为( )
A． eq \f(8π,3) B． eq \f(32π,3)
C．16π D．32π
6．[2022·湖南永州三模]在正四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，BB1＝2BC＝2，E为AA1的中点，点F为线段CC1上的动点，则三棱锥E ­ BB1F的外接球表面积的最大值为( )
A．π B．4π
C．5π D．10π
二、多项选择题
7．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的 eq \f(1,3) ，则下列结论正确的是( )
A．球O的表面积为6π
B．球O的内接正方体的棱长为1
C．球O的外切正方体的棱长为 eq \f(4,3)
D．球O的内接正四面体的棱长为2
8．[2022·广东惠州二模]已知正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的上下底面边长分别为4，6，高为 eq \r(2) ，E是A1B1的中点，则( )
A．正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的体积为 eq \f(52\r(2),3)
B．平面BC1D⊥平面AA1C1C
C．AE∥平面BC1D
D．正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的外接球的表面积为104π
三、填空题
9．[2022·辽宁鞍山二模]已知正四面体ABCD的表面积为2 eq \r(3) ，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为________．
10．[2022·河北保定二模]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑P ­ ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且PA＝AB＝2BC＝4，则鳖臑P ­ ABC外接球的体积是________．
11．[2022·湖北八市3月联考]表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，则这个多面体的体积为________．
12．[2022·山东菏泽一模]如图，在四面体ABCD中，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AB＝ eq \r(2) ，∠BAD＝∠CBD＝ eq \f(π,2) ，平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的表面积为________．
13．[2022·广东韶关一模]已知三棱柱ABC ­ A1B1C1的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若AA1＝AC＝2，AB⊥BC，则此球的体积为________．
14．[2022·福建漳州一模]某中学开展劳动实习，学习加工制作包装盒．现将一张足够用的正方形硬纸片加工制作成轴截面的顶角为60°，高为6的圆锥形包装盒，若在该包装盒中放入一个球形冰淇淋(内切)，则该球形冰淇淋的表面积为________．
15．[2022·山东枣庄一模]如图，等腰Rt△PAD与矩形ABCD所在平面垂直，且PA＝PD＝AB＝2，则四棱锥P ­ ABCD的外接球的表面积为________．
微专题15 球的接、切问题
1．解析：若棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即2R＝ eq \r(22＋22＋22) ＝2 eq \r(3) ，(其中R是该球的半径)，
所以R＝ eq \r(3) ，则球的体积V＝ eq \f(4,3) πR3＝4 eq \r(3) π.故选B.
答案：B
2．解析：如图，将三棱锥放于一个长方体内：
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
∴PB为三棱锥P ­ ABC外接球的直径，
∵|PB|＝ eq \r(52＋（\r(11)）2＋82) ＝10，
∴外接球的表面积为4π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,2))) 2＝100π.故选A.
答案：A
3．解析：由题意，设四棱锥P ­ ABCD内切球的半径为r，易知|PB|＝5.
因为VP ­ ABCD＝ eq \f(1,3) ×42×3＝16，四棱锥P ­ ABCD的表面积S＝42＋ eq \f(1,2) ×3×4×2＋ eq \f(1,2) ×4×5×2＝48，
所以r＝ eq \f(3VP ­ ABCD,S) ＝1，
所以四棱锥P ­ ABCD内切球的表面积为4πr2＝4π.故选B.
答案：B
4．解析：因为VA⊥底面ABC，AB，AC⊂底面ABC，所以VA⊥AB，VA⊥AC，
又因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，而AB＝AC＝AV＝2，
所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长、宽、高，
因此该三棱锥外接球的半径R＝ eq \f(1,2) eq \r(22＋22＋22) ＝ eq \r(3) ，设该三棱锥的内切球的半径为r，
因为∠BAC＝90°，所以BC＝ eq \r(AB2＋AC2) ＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) ，
因为VA⊥AB，VA⊥AC，AB＝AC＝AV＝2，
所以VB＝VC＝ eq \r(AV2＋AB2) ＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) ，
由三棱锥的体积公式可得：
3× eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2×2·r＋ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2 eq \r(2) ×2 eq \r(2) × eq \f(\r(3),2) ·r＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×2×2×2⇒r＝ eq \f(3－\r(3),3) ，
所以r∶R＝ eq \f(3－\r(3),3) ∶ eq \r(3) ＝( eq \r(3) －1)∶3，故选C.
答案：C
5．解析：设球半径为R，圆锥的底面半径为r，若一个直角圆锥的侧面积为4 eq \r(2) π，
设母线为l，则l2＋l2＝4r2⇒l＝ eq \r(2) r，
所以直角圆锥的侧面积为： eq \f(1,2) ×2πr·l＝ eq \f(1,2) ×2πr· eq \r(2) r＝4 eq \r(2) π，
可得：r＝2，l＝ eq \r(2) r＝2 eq \r(2) ，圆锥的高BO1＝ eq \r(l2－r2) ＝ eq \r(8－4) ＝2，
由r2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－R)) 2＝R2，解得：R＝2，
所以球O的体积等于 eq \f(4,3) πR3＝ eq \f(4,3) π×8＝ eq \f(32π,3) ，故选B.
答案：B
6．解析：如图建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，B1(0，0，2)，E(1，0，1)，
∴ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝(1，0，1)，EB1＝(－1，0，1)， eq \(BE,\s\up6(→)) ·EB1＝0，
∴BE⊥EB1，即△B1EB为直角三角形，
所以可设三棱锥E ­ BB1F的外接球的球心为O(0，y，1)，F(0，1，t)(0≤t≤2)，
所以球的半径为R＝ eq \r(y2＋1) ＝ eq \r(（y－1）2＋（t－1）2) ，
∴y2＋1＝(y－1)2＋(t－1)2，即(t－1)2＝2y，又t∈[0，2]，
∴(t－1)2＝2y∈[0，1]，即y∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) ，
∴R＝ eq \r(y2＋1) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) ，4πR2≤5π，
所以三棱锥E ­ BB1F的外接球表面积的最大值为5π.故选C.
答案：C
7．解析：设球的半径为R，由已知可得ABC外接圆半径为r＝ eq \f(2,2sin \f(π,3)) ＝ eq \f(2\r(3),3) ，
∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的 eq \f(1,3) ，
∴R2－ eq \f(1,9) R2＝ eq \f(4,3) ，得R2＝ eq \f(3,2) .
对于A，球O的表面积为4π× eq \f(3,2) ＝6π，故A正确；
对于B，设球O的内接正方体的棱长为a，
∵正方体的体对角线即球O的直径， eq \r(3) a＝2R，解得a＝ eq \r(2) ，故B错误；
对于C，设球O的外切正方体的棱长为b，
∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b＝2R＝ eq \r(6) ，故C错误；
对于D，设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为 eq \r(c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)c))2) ＝ eq \f(\r(6),3) c，
由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)c－\f(\r(6),2))) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)c)) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2))) eq \s\up12(2) ，解得c＝2，故D正确．故选AD.
答案：AD
8．解析：如图所示：
连接AC，BD交于点O2，连接A1C1，B1D1交于点O1，
A．正四棱台ABCD ­ A1B1C1D1的体积为
V＝ eq \f(1,3) (S1＋ eq \r(S1S2) ＋S2)h＝ eq \f(1,3) (16＋ eq \r(16×36) ＋36)× eq \r(2) ＝ eq \f(76\r(2),3) ，故错误；
B．易知BD⊥AC，BD⊥O1O2，又AC∩O1O2＝O2，则BD⊥平面AA1C1C，又BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面AA1C1C，故正确；
C．如图所示：
取D1A1的中点F，连接AF，EF，且EF∩A1C1＝G，连接AG，C1O2，易知C1G∥AO2，C1G＝AO2＝3 eq \r(2) ，
所以四边形C1GAO2是平行四边形，则AG∥C1O2，
又AG⊄平面BC1D，C1O2⊂平面BC1D，则AG∥平面BC1D，
又EF∥BD，EF⊄平面BC1D，BD⊂平面BC1D，则EF∥平面BC1D，
又EF∩AG＝G，所以平面AEF∥平面BC1D，则AE∥平面BC1D，故正确；
D．如图所示：
若外接球的球心O在正四棱台的内部，则O在O1O2上，
因为O1O2＝ eq \r(2) ，上下底面边长分别为4，6，
则D1O1＝ eq \f(1,2) B1D1＝2 eq \r(2) ，DO2＝ eq \f(1,2) BD＝3 eq \r(2) ，
所以 eq \r(D1O2－D1O eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＋ eq \r(DO2－DO eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝O1O2，
即 eq \r(R2－8) ＋ eq \r(R2－18) ＝ eq \r(2) 无解，
则若外接球的球心O在正四棱台的外部，如图所示：
所以 eq \r(R2－8) － eq \r(R2－18) ＝ eq \r(2) ，解得R2＝26，
所以外接球的表面积为4πR2＝104π，故正确. 故选BCD.
答案：BCD
9．解析：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a，
所以该正四面体的表面积为S＝4× eq \f(1,2) ×a× eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(3) a2，所以a＝ eq \r(2) ，
又正方体的面对角线可构成正四面体，
若正四面体棱长为 eq \r(2) ，可得正方体的棱长为1，
所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为 eq \r(3) ，半径为 eq \f(\r(3),2) ，
所以球O的体积为 eq \f(\r(3),2) π.
答案： eq \f(\r(3),2) π
10．解析：由题意可得三角形ABC外接圆的半径r＝ eq \f(AC,2) ＝ eq \f(\r(42＋22),2) ＝ eq \r(5) ，
因为PA⊥平面ABC，
所以鳖臑P ­ ABC外接球的半径R＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(PA,2)))\s\up12(2)＋r2) ＝ eq \r(4＋5) ＝3，
故鳖臑P ­ ABC外接球的体积是 eq \f(4,3) πR3＝36π.
答案：36π
11．解析：因为球的体积为36π.
设球的半径为R，所以 eq \f(4πR3,3) ＝36π，解得R＝3.
因为表面积为Q的多面体的每一个面都与体积为36π的球相切，
所以球的半径就是球心到多面体面的距离，
所以多面体的体积为 eq \f(1,3) QR＝Q.
答案：Q
12．解析：如图所示，取BD，CD中点M，N，连接AM，MN，AN.
在等腰直角△ABD中，AB＝ eq \r(2) ，∠BAD＝ eq \f(π,2) ，∴AM⊥BD，AM＝BM＝DM＝1，
在等腰直角△BCD中，∠CBD＝ eq \f(π,2) ，∴MN⊥BD，MN＝1，BC＝2，CN＝ND＝BN＝ eq \r(2) ，
又平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥MN，∴AN＝ eq \r(2) ，即N为四面体ABCD外接球的球心，R＝ eq \r(2) ，则四面体ABCD外接球的表面积为4πR2＝8π.
答案：8π
13．解析：设△ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，球的半径为R，球心为O，
底面△ABC为直角三角形，故其外接圆圆心D在斜边中点处，则r＝1，
又OD＝ eq \f(1,2) AA1＝1，在Rt△OCD中，R＝ eq \r(r2＋12) ＝ eq \r(2) ，V球＝ eq \f(4,3) πR3＝ eq \f(8\r(2),3) π.
答案： eq \f(8\r(2),3) π
14．解析：如图，
由题意知，∠BAC＝60°，AO1＝6，
故在Rt△AO1C中，AC＝4 eq \r(3) ，O1C＝2 eq \r(3) ，
设内切球球心为O，则OD＝OO1＝R，
在Rt△ADO中，∠OAD＝30°，
所以2R＝6－R，解得R＝2，
所以S＝4πR2＝16π.
答案：16π
15．解析：连接AC，BD，交于点O，取AD的中点M，连接PM，
因为PA＝PD＝AB＝2，所以PM⊥AD，
因为等腰Rt△PAD与矩形ABCD所在平面垂直，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PM⊥平面ABCD，
连接OM，OP，则PM⊥OM，
因为等腰Rt△PAD和矩形ABCD中，PA＝PD＝AB＝2，
所以AD＝2 eq \r(2) ，PM＝ eq \r(2) ，AC＝BD＝ eq \r(8＋4) ＝2 eq \r(3) ，
所以OA＝OB＝OC＝OD＝ eq \r(3) ，MO＝1，
所以OP＝ eq \r(PM2＋OM2) ＝ eq \r(3) ，
所以OP＝OA＝OB＝OC＝OD＝ eq \r(3) ，
所以点O为四棱锥P ­ ABCD的外接球的球心，则球的半径为 eq \r(3) ，
所以四棱锥P ­ ABCD的外接球的表面积为4π· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3))) 2＝12π.
答案：12π