高考数学二轮复习专项分层特训微专题18圆中的最值含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题18圆中的最值含答案，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·辽宁大连模拟]已知直线l：mx－y－3m＋1＝0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．4 eq \r(5) B．2
C．4 D．2 eq \r(5)
2．[2022·湖南岳阳模拟]已知点A(2，0)，B(0，－1)，点P是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，则△PAB面积最大值为( )
A．2 B．4＋ eq \r(5)
C．1＋ eq \f(\r(5),2) D．2＋ eq \f(\r(5),2)
3．[2022·福建厦门模拟]过x轴正半轴上一点P(x0，0)作圆C：x2＋(y－ eq \r(3) )2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若|AB|≥ eq \r(3) ，则x0的最小值为( )
A．1 B． eq \r(2)
C．2 D．3
4．已知半径为r的圆C经过点P(2，0)，且与直线x＝－2相切，则其圆心到直线x－y＋4＝0距离的最小值为( )
A．1 B． eq \r(2)
C．2 D．2 eq \r(2)
5．[2022·河北石家庄二中模拟]已知P为抛物线C：y2＝8x上的动点，Q为直线l：x－y＋4＝0上的动点，过点P作圆E：(x－3)2＋y2＝8的切线，切点为A，则|PQ|＋|PA|的最小值为( )
A． eq \r(2) ＋1 B．2 eq \r(2) －1
C．3 eq \r(2) －1 D．3 eq \r(2) －2
6．若M，N分别为圆C1：(x＋6)2＋(y－5)2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上的动点，P为直线x＋y＋5＝0上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．4 eq \r(5) －3 B．6
C．9 D．12
二、多项选择题
7．[2022·江苏盐城三模]设直线l：mx－y－2m＋2＝0(m∈R)，交圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9于A，B两点，则下列说法正确的有( )
A．直线l恒过定点(1，2)
B．弦AB长的最小值为4
C．当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为：(x－4)2＋(y－3)2＝9
D．过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为 eq \r(13)
8．[2022·湖北襄阳二模]已知点P(2，4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则( )
A．|AB|的最小值为2 eq \r(5)
B．P到l的距离的最大值为2 eq \r(5)
C． eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PR,\s\up6(→)) 的最小值为24－6 eq \r(5)
D．|PR|的最大值为4 eq \r(2) －3
三、填空题
9．[2022·山东胜利一中模拟]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为________．
10．[2022·福建南平三模]已知P(m，n)为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则 eq \f(n－1,m＋1) 的最大值为________．
11．[2022·河北衡水模拟]过圆O：x2＋y2＝2上一点P作圆C：(x－4)2＋(y－4)2＝2的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为________.
12．[2022·河北保定二模]现有10个圆的圆心都在同一条直线上，从左到右它们的半径依次构成首项为1，公比为2的等比数列，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，前3个圆如图所示，若P，Q分别为第1个圆与第10个圆上任意一点，则|PQ|的最大值为________.(用数字作答)
微专题18 圆中的最值
1．解析：由m(x－3)－y＋1＝0恒过P(3，1)，
又(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，即P在圆C内，
要使|AB|最小，只需圆心C(1，2)与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由|CP|＝ eq \r(5) ，圆的半径为5，
所以|AB|＝2× eq \r(25－5) ＝4 eq \r(5) .故选A.
答案：A
2．解析：由已知|AB|＝ eq \r(5) ，
要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．
由于AB的方程为 eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,－1) ＝1，即x－2y－2＝0，
圆心(0，1)到直线AB的距离为d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(0－2－2)),\r(5)) ＝ eq \f(4\r(5),5) ，
故P到直线AB的距离最大值为 eq \f(4\r(5),5) ＋1，
所以△PAB面积的最大值为 eq \f(1,2) ·|AB|·(d＋1)＝ eq \f(1,2) × eq \r(5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),5)＋1)) ＝2＋ eq \f(\r(5),2) ，故选D.
答案：D
3．解析：如图，连接AB，PC交于点Q，易得CP⊥AB，|AQ|＝ eq \f(|AB|,2) ，
由|CQ|＝ eq \r(|CA|2－|AQ|2) ，|AB|最小时，|CQ|最大，
又CA⊥AP，sin ∠CAQ＝sin ∠APC，可得 eq \f(|CQ|,|CA|) ＝ eq \f(|CA|,|CP|) ，即|CA|2＝|CQ|·|CP|＝1，
|CQ|最大时，|CP|最小，x0最小；
又|CQ|max＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(1,2) ，则|CP|min＝2＝ eq \r(3＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) ，故x0的最小值为1.故选A.
答案：A
4．解析：依题意，设圆C的圆心C(x，y)，动点C到点P的距离等于到直线x＝－2的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为y2＝8x，
设圆心C到直线x－y＋4＝0的距离为d，
d＝ eq \f(|x－y＋4|,\r(2)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)y2－y＋4)),\r(2)) ＝ eq \f(|y2－8y＋32|,8\r(2)) ，
当y＝4时，dmin＝ eq \r(2) ，故选B.
答案：B
5．解析：设P(m，n)(m≥0)，则n2＝8m，
∴|PA|＝ eq \r(（m－3）2＋n2－8) ＝ eq \r(m2＋2m＋1) ＝m＋1＝ eq \f(n2＋8,8) ，
|PQ|＝ eq \f(|m－n＋4|,\r(2)) ＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n2,8)－n＋4)),\r(2)) ＝ eq \f(n2－8n＋32,8\r(2)) ，
∴(|PA|＋|PQ|)min＝ eq \f(n2＋8,8) ＋ eq \f(n2－8n＋32,8\r(2)) ＝ eq \f(（\r(2)＋1）n2－8n＋32＋8\r(2),8\r(2)) ，
则当n＝ eq \f(4,\r(2)＋1) ＝4( eq \r(2) －1)时，(|PA|＋|PQ|)min＝3 eq \r(2) －1，即|PA|＋|PQ|的最小值为3 eq \r(2) －1.故选C.
答案：C
6．解析：易得圆C1圆心为(－6，5)，半径为2，圆C2圆心为(2，1)，半径为1，设圆C3圆心(a，b)，半径为1，(a，b)与(2，1)关于直线x＋y＋5＝0对称，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b－1,a－2)＝1,\f(a＋2,2)＋\f(b＋1,2)＋5＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－6,b＝－7)) ，如图所示，要使|PM|＋|PN|最小，
则|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－2－1＝|PC1|＋|PC3|－3＝|C1C3|－3＝9.故选C.
答案：C
7．解析：直线l的方程可化为m(x－2)＝y－2，过定点(2，2)，即A错误；设P(2，2)，则圆心到直线的距离d≤|CP|＝ eq \r(12＋22) ＝ eq \r(5) ，且半径r＝3，所以最小弦长为2 eq \r(32－5) ＝4，即B正确；m＝1时，直线方程为x－y＝0，则点C(3，4)关于直线l对称的点为(4，3)，即C正确；当垂足为M(2，2)时，|MC|＝ eq \r(5) < eq \r(13) ，即D错误．故选BC.
答案：BC
8．解析：如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2 eq \r(5) ，所以A正确；当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为|PQ|＝2 eq \r(5) ，所以B正确；设R(6＋3cs θ，3sin θ)，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PR,\s\up6(→)) ＝(2，－4)·(4＋3cs θ，3sin θ－4)＝6cs θ－12sin θ＋24，
所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PR,\s\up6(→)) ＝6 eq \r(5) cs (θ＋φ)＋24，所以 eq \(PQ,\s\up6(→)) · eq \(PR,\s\up6(→)) 的最小值为24－6 eq \r(5) ，所以C正确；当P，C，R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|＋r＝4 eq \r(2) ＋3，所以D错误．故选ABC.
答案：ABC
9．解析：圆C标准方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2，0)，半径为r＝2，|CM|＝ eq \r(（2－1）2＋（0－1）2) ＝ eq \r(2) ，与CM垂直的弦的弦长为l＝2 eq \r(r2－|CM|2) ＝2 eq \r(4－2) ＝2 eq \r(2) ，即为所求弦长的最小值．
答案：2 eq \r(2)
10．解析：由于 eq \f(n－1,m＋1) ＝ eq \f(n－1,m－（－1）) ，故 eq \f(n－1,m＋1) 表示P(m，n)和(－1，1)连线的斜率，
设M(－1，1)，如图所示，当MP与圆相切时， eq \f(n－1,m＋1) 取得最大值，
设此时MP：y－1＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋1＝0，又圆心(1，1)，半径为1，故 eq \f(|k－1＋k＋1|,\r(k2＋1)) ＝1，解得k＝± eq \f(\r(3),3) ，
故 eq \f(n－1,m＋1) 的最大值为 eq \f(\r(3),3) .
答案： eq \f(\r(3),3)
11．解析：由题意C(4，4)，半径为|CQ|＝ eq \r(2) ，
|PQ|＝ eq \r(|PC|2－|CQ|2) ＝ eq \r(|PC|2－2) ，
|CO|＝ eq \r(42＋42) ＝4 eq \r(2) ，圆O：x2＋y2＝2的半径为r＝ eq \r(2) ，
所以|PC|min＝4 eq \r(2) － eq \r(2) ＝3 eq \r(2) ，
所以|PQ|min＝ eq \r(（3\r(2)）2－2) ＝4.
答案：4
12．解析：由题意可知，|PQ|的最大值为这10个圆的直径之和2(1＋2＋4＋…＋29)，
由等比数列前n项和公式可得，|PQ|的最大值为2× eq \f(1－210,1－2) ＝2×(210－1)＝2 046.
答案：2 046