高考数学二轮复习专项分层特训命题点22直线与圆含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点22直线与圆含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2)
C．1 D．－1
2．[2022·山东滨州二模]已知直线l：(m2＋m＋1)x＋(3－2m)y－2m2－5＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0，则直线l与圆C的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
3．[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是( )
A．2x＋y＋ eq \r(5) ＝0或2x＋y－ eq \r(5) ＝0
B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C．2x－y＋ eq \r(5) ＝0或2x－y－ eq \r(5) ＝0
D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
4．[2022·山东肥城模拟]已知O是坐标原点，直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若∠AOB＝45°，则m的值为( )
A．－4或4 B．－4或0
C．0或4 D．－4或2
5．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为( )
A．2 B． eq \r(3)
C．1 D． eq \r(5)
6．[2022·湖北荆州模拟]已知圆O：x2＋y2＝10，直线l：ax＋by＝2a－b(a，b∈R)与圆O的交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|＝( )
A． eq \f(3\r(5),2) B． eq \f(5\r(5),2)
C．2 eq \r(5) D．3 eq \r(5)
7．[2022·湖南师大附中一模]已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是( )
A．(－∞，1] B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4)))
8．[2022·山东烟台一模]过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为 eq \r(7) 的点P有两个，则实数m的取值范围为( )
A．－5C．m<－5或m>3 D．m<－3或m>5
二、多项选择题
9．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
10．[2022·山东济宁三模]已知直线y＝ eq \r(3) x＋b与圆x2＋y2＝16交于A、B两点，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数b的取值可以是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
11．[2021·新高考Ⅰ卷]已知点P在圆(x－5)2＋ (y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 eq \r(2)
12．[2022·山东淄博一模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则下列结论正确的有( )
A．a2＋b2＝1
B．直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝ eq \f(3,4)
D．圆C1与圆C2公共部分的面积为 eq \f(2π,3) － eq \f(\r(3),2)
三、填空题
13．[2022·全国甲卷] 若双曲线y2－ eq \f(x2,m2) ＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
14．[2022·全国乙卷]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
15．[2022·新高考Ⅰ卷]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
16．[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
命题点22 直线与圆(小题突破)
1．解析：因为直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线2x＋y－1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝ eq \f(1,2) .故选A.
答案：A
2．解析：直线l：(m2＋m＋1)x＋(3－2m)y－2m2－5＝0，即(x－2)m2＋(x－2y)m＋(x＋3y－5)＝0，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝0,x－2y＝0,x＋3y－5＝0)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1)) ，因此，直线l恒过定点A(2，1)，
又圆C：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，显然点A在圆C外，
所以直线l与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确．
故选D.
答案：D
3．解析：由题得直线x＋2y＋1＝0的斜率为－ eq \f(1,2) ，所以所求的直线的斜率为2，
设所求的直线方程为y＝2x＋b，∴2x－y＋b＝0.
因为所求直线与圆相切，所以1＝ eq \f(|b|,\r(4＋1)) ，∴b＝± eq \r(5) .
所以所求的直线方程为2x－y＋ eq \r(5) ＝0或2x－y－ eq \r(5) ＝0.
故选C.
答案：C
4．解析：
由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，则圆心为C(0，－2)，半径为2，
易知O在圆上，因为∠AOB＝45°，
所以∠ACB＝90°，得CA⊥CB，
则圆心C到直线x－y＋m＝0的距离d＝r sin 45°＝2× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(2) ，
即 eq \r(2) ＝ eq \f(|2＋m|,\r(2)) ，即m＝0或m＝－4.
故选B.
答案：B
5．解析：直线y＝2x＋1上任取一点P(x0，y0)作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，设切点为A，
圆x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，圆心C(2，0)，r＝1，
切线长为 eq \r(PC2－r2) ＝ eq \r(PC2－1) ，
PCmin＝ eq \f(|2×2＋1|,\r(22＋（－1）2)) ＝ eq \r(5) ，
所以切线长的最小值为 eq \r(\r(5)2－1) ＝2.
故选A.
答案：A
6．解析：直线l：ax＋by＝2a－b eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b∈R)) ，即a(x－2)＋b(y＋1)＝0，所以直线过定点A(2，－1)，|OA|＝ eq \r(22＋（－1）2) ＝ eq \r(5) ，圆O半径r＝ eq \r(10) ，
点A在圆O内，所以当直线与OA垂直的时候，|MN|最短，
此时|MN|＝2 eq \r(r2－|OA|2) ＝2 eq \r(5) .
故选C.
答案：C
7．解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，
得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2y－2＝0，求得定点P(1，－1)，
又P(1，－1)在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m.
∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1，∴mn的取值范围是(－∞，1].
故选A.
答案：A
8．解析：
由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知，圆心M(2，3)，半径为1，
∴|MA|＝|MB|＝1，
∴四边形PAMB的面积为S＝ eq \f(1,2) |PA||MA|＋ eq \f(1,2) |PB||MB|＝|PA|＝ eq \r(7) ，
∴|PM|＝ eq \r(|MA|2＋|PA|2) ＝ eq \r(12＋（\r(7)）2) ＝2 eq \r(2) ，
要使四边形PAMB的面积为 eq \r(7) 的点P有两个，
则 eq \f(|2－3－m|,\r(12＋（－1）2)) <2 eq \r(2) ，
解得－5故选A.
答案：A
9．解析：圆心C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0)) 到直线l的距离d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2)) ，
若点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b)) 在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b)) 在圆C内，则a2＋b2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b)) 在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2)) < eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b)) 在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，
所以d＝ eq \f(r2,\r(a2＋b2)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(r)) ，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：设∠AOB＝2θ，则0<2θ< eq \f(π,2) ，可得0<θ< eq \f(π,4) ，
设圆心到直线AB的距离为d，圆x2＋y2＝16的圆心为原点，半径为4，
所以，d＝4cs θ∈(2 eq \r(2) ，4)，由点到直线的距离公式可得d＝ eq \f(|b|,\r(3＋1)) ＝ eq \f(|b|,2) ，
所以，2 eq \r(2) < eq \f(|b|,2) <4，解得－8故选BC.
答案：BC
11．解析：圆 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－5)) 2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－5)) 2＝16的圆心为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，5)) ，半径为4，
直线AB的方程为 eq \f(x,4) ＋ eq \f(y,2) ＝1，即x＋2y－4＝0，
圆心M到直线AB的距离为 eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(5＋2×5－4)),\r(12＋22)) ＝ eq \f(11,\r(5)) ＝ eq \f(11\r(5),5) >4，
所以，点P到直线AB的距离的最小值为 eq \f(11\r(5),5) －4<2，最大值为 eq \f(11\r(5),5) ＋4<10，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BM)) ＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－5))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－5))2) ＝ eq \r(34) ， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MP)) ＝4，由勾股定理可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BP)) ＝ eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BM))2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MP))2) ＝3 eq \r(2) ，C、D选项正确．
故选ACD.
答案：ACD
12．解析：两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，
因为圆C1的圆心为C1(0，0)，半径为1，且公共弦AB的长为1，则C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为 eq \f(\r(3),2) ，所以 eq \f(a2＋b2,\r(4（a2＋b2）)) ＝ eq \f(\r(3),2) ，解得a2＋b2＝3，
所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故A错误，B正确；
由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1(0，0)到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB中点坐标为(x，y)，因此 eq \r(（x－0）2＋（y－0）2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，即x2＋y2＝ eq \f(3,4) ，故C正确；
因为AB＝C1A＝C1B＝1，所以∠BC1A＝ eq \f(π,3) ，即圆C1中弧AB所对的圆心角为 eq \f(π,3) ，所以扇形的面积为 eq \f(\f(π,3),2π) ×π×12＝ eq \f(π,6) ，三角形C1AB的面积为 eq \f(1,2) ×1×1× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) ，所以圆C1与圆C2公共部分的面积为2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－\f(\r(3),4))) ＝ eq \f(π,3) － eq \f(\r(3),2) ，故D错误．
故选BC.
答案：BC
13．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝ eq \f(x,m) ，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得 eq \f(|0－2m|,\r(m2＋1)) ＝1，解得m＝± eq \f(\r(3),3) .又因为m＞0，所以m＝ eq \f(\r(3),3) .
答案： eq \f(\r(3),3)
14．解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2).(1)若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝ eq \r(4＋a2) ＝ eq \r(13) ，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.(2)若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝ eq \r(4＋a2) ＝ eq \r(5) ，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.(3)若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝－2x＋5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(7,3)，)) 则半径r＝ eq \r(\f(16,9)＋\f(49,9)) ＝ eq \f(\r(65),3) ，所以圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(65,9) .(4)若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,y＝5x－7，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝1，)) 则半径r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)－4))\s\up12(2)＋（1－2）2) ＝ eq \f(13,5) ，所以圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5))) eq \s\up12(2) ＋(y－1)2＝ eq \f(169,25) .
答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13[或(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x－ eq \f(4,3) )2＋(y－ eq \f(7,3) )2＝ eq \f(65,9) 或(x－ eq \f(8,5) )2＋(y－1)2＝ eq \f(169,25) ]
15．解析：由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由O1A＝ eq \f(1,5) O1O2，得A( eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) ).因为kO1O2＝ eq \f(4,3) ，所以切线l1的斜率k1＝－ eq \f(3,4) ，所以l1：y－ eq \f(4,5) ＝－ eq \f(3,4) (x－ eq \f(3,5) )，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝ eq \f(4,3) x.联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x，,x＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)．)) 故直线l与l2的交点为P(－1，－ eq \f(4,3) ).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋ eq \f(4,3) ＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得 eq \f(k－\f(4,3),\r(k2＋1)) ＝1，解得k＝ eq \f(7,24) ，所以l3：y＋ eq \f(4,3) ＝ eq \f(7,24) (x＋1)，即7x－24y－25＝0.
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
16．解析：因为kAB＝ eq \f(a－3,2) ，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以 eq \f(|3（a－3）＋4＋2a|,\r(4＋（3－a）2)) ≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得 eq \f(1,3) ≤a≤ eq \f(3,2) .
答案：[ eq \f(1,3) ， eq \f(3,2) ]