高考数学二轮复习专项分层特训命题点25抛物线含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点25抛物线含答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为 eq \r(2) ，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
2．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2 eq \r(2)
C．3 D．3 eq \r(2)
3．[2022·河北唐山二模]F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M(m，4)在C上，直线MF交C的准线于点N，则|FN|＝( )
A． eq \f(5,4) B． eq \f(10,3)
C．5 D．12
4．[2022·湖北襄阳二模]数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))) B．(0，－1)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,8)))
5．[2022·福建漳州一模]已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点(1，－2)，直线l：y＝k(x－1)与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，若|AF|＝(3＋2 eq \r(2) )|FB|，则l在y轴上的截距为( )
A．2 B．1
C．－ eq \f(1,2) D．－1
6．[2022·湖北荆门一模]过抛物线y2＝px，(p>0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线l的倾斜角等于( )
A．30°或150° B．45°或135°
C．60°或120° D．与p值有关
7．[2022·辽宁锦州一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P是C上一点，且|PF|＝5，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则p＝( )
A．2 B．2或4
C．4 D．4或6
8．[2022·湖南衡阳一模]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得|AP|＋|PF|的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为( )
A．(4，2) B．(4，4)
C．(3，3) D．(3，4)
二、多项选择题
9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－ eq \r(3) ，则下列结论正确的是( )
A．准线方程为x＝－3
B．焦点坐标F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))
C．点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3)))
D．PF的长为3
10．[2022·湖南常德一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则( )
A．焦点F的坐标为(1，0)
B．过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C．直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D．抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则|MN|＝4
11．[2022·新高考Ⅱ卷]已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|＝|AM|，则( )
A．直线AB的斜率为2 eq \r(6)
B．|OB|＝|OF|
C．|AB|>4|OF|
D．∠OAM＋∠OBM<180°
12．[2022·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题
13．[2022·广东湛江二模]拋物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(2，m)为C上一点，若|PF|＝3，则m＝________．
14．[2020·新高考Ⅰ卷]斜率为 eq \r(3) 的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
15．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
16．[2022·河北沧州二模]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝ eq \r(3) |NF|，则直线AB的斜率为________．
命题点25 抛物线(小题突破)
1．解析：抛物线的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)) ，
其到直线x－y＋1＝0的距离：d＝ eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1)) ＝ eq \r(2) ，
解得：p＝2(p＝－6舍去).
故选B.
答案：B
2．解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2 eq \r(x0) ).根据抛物线的定义可知x0－(－1)＝2，所以x0＝1，所以A(1，2)，所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2) ＝2 eq \r(2) .故选B.
答案：B
3．解析：点M(m，4)在抛物线C：y2＝4x上，则42＝4m，解之得m＝4，则M(4，4)，
又抛物线C：y2＝4x的焦点F(1，0)，准线x＝－1，
则直线MF的方程为4x－3y－4＝0，则N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(8,3))) ，
则|FN|＝ eq \r(（－1－1）2＋（－\f(8,3)－0）2) ＝ eq \f(10,3) .
故选B.
答案：B
4．解析：依题意A(2，－2)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，
所以－2＝a×22⇒a＝－ eq \f(1,2) ，
所以y＝－ eq \f(1,2) x2，x2＝－2y，
故2p＝2， eq \f(p,2) ＝ eq \f(1,2) ，且抛物线开口向下，
所以抛物线的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))) .
故选A.
答案：A
5．解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点(1，－2)，
所以4＝2p，解得p＝2，
即抛物线方程为y2＝4x，焦点为F(1，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝k（x－1）)) ，消元得y2－ eq \f(4,k) y－4＝0，由Δ>0，
∴y1y2＝－4，
又|AF|＝(3＋2 eq \r(2) )|FB|，即 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝(3＋2 eq \r(2) ) eq \(FB,\s\up6(→)) ，
∴－y1＝(3＋2 eq \r(2) )y2，
∴ eq \f(4,y2) ＝(3＋2 eq \r(2) )y2，
∴y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝ eq \f(4,3＋2\r(2)) ＝12－8 eq \r(2) ＝4x2，
∴y2＝2－2 eq \r(2) ，x2＝3－2 eq \r(2) ，
∴k＝ eq \f(0－（2－2\r(2)）,1－（3－2\r(2)）) ＝1，
即直线方程为y＝x－1，
故l在y轴上的截距为－1，
故选D.
答案：D
6．解析：如图l是抛物线的准线，作AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，设|FB|＝m，则|FA|＝3m，
由抛物线定义知|AM|＝3m，|BN|＝m，
过B作BC⊥AM，垂足为C，则易得|MC|＝|BN|＝m，所以|AC|＝2m，
直角三角形ABC中，cs ∠CAB＝ eq \f(|AC|,|AB|) ＝ eq \f(2m,4m) ＝ eq \f(1,2) ，∠CAB＝60°，
此时直线AB的倾斜角为60°，由对称性，直线AB的倾斜角也可为120°，
故选C.
答案：C
7．解析：设圆的圆心为M，与x轴交于点F，B，线段FB的中点为A，MA⊥x轴，由条件可知|MA|＝ eq \f(5,2) ，|FA|＝ eq \f(1,2) ，|MA|＝ eq \r(\f(25,4)－\f(1,4)) ＝ eq \r(6) ，所以yP＝2 eq \r(6) ，
由焦半径公式可知xP＋ eq \f(p,2) ＝5，即xP＝5－ eq \f(p,2) ，所以代入抛物线方程24＝2p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2))) ，
解得：p＝4或6.
故选D.
答案：D
8．解析：抛物线的准线方程为x＝－1，焦点坐标为(1，0)，
A．因为A(4，2)在抛物线内部，而A(4，2)到准线的距离为4－(－1)＝5，
所以|AP|＋|PF|的最小值为5，不符合题意；
B．因为A(4，4)在抛物线上，所以|AP|＋|PF|的最小值就是|AF|＝ eq \r(（4－1）2＋（4－0）2) ＝5，不符合题意；
C.因为A(3，3)在抛物线内部，A(3，3)到准线的距离为3－(－1)＝4，
所以|AP|＋|PF|的最小值为4，符合题意，
D．因为A(3，4)在抛物线外部，所以|AP|＋|PF|的最小值就是
|AF|＝ eq \r(（3－1）2＋（4－0）2) ＝2 eq \r(5) ，不符合题意，
故选C.
答案：C
9．解析：由抛物线方程为y2＝6x，
∴焦点坐标F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0)) ，准线方程为x＝－ eq \f(3,2) ，A错B对；
∵直线AF的斜率为－ eq \r(3) ，
∴直线AF的方程为y＝－ eq \r(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2))) ，
当x＝－ eq \f(3,2) 时，y＝3 eq \r(3) ，
∴A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3\r(3))) ，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴点P的纵坐标为3 eq \r(3) ，可得点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)，3\r(3))) ，C对；
根据抛物线的定义可知|PF|＝|PA|＝ eq \f(9,2) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) ＝6，D错．
故选BC.
答案：BC
10．解析：由题可知抛物线方程为y2＝4x，
对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确；
对于B，过点A(－1，0)有抛物线的2条切线，还有y＝0，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误；
对于C， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0,y2＝4x)) ⇒y2＋4y－4＝0，弦长为 eq \r(2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(y1－y2)) ＝ eq \r(2) eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2) ＝ eq \r(2) · eq \r(16＋16) ＝8，故C正确；
对于D， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝5,y2＝4x)) ⇒x2＋4x－5＝0，解得x＝1(x＝－5舍去)，交点为(1，±2)，有|MN|＝4，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由|AF|＝|AM|，可知xA＝ eq \f(xF＋xM,2) ＝ eq \f(3,4) p.代入y2＝2px，得yA＝ eq \f(\r(6),2) p(负值已舍去).kAB＝ eq \f(yA,xA－\f(p,2)) ＝2 eq \r(6) ，直线AB的方程为y＝2 eq \r(6) x－ eq \r(6) p.联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(6)x－\r(6)p，,y2＝2px，)) 得24x2－26px＋6p2＝0，则xAxB＝ eq \f(p2,4) ，得xB＝ eq \f(p,3) ，则yB＝－ eq \f(\r(6),3) p.故A( eq \f(3,4) p， eq \f(\r(6),2) p)，B( eq \f(p,3) ，－ eq \f(\r(6),3) p)，F( eq \f(p,2) ，0)，M(p，0).选项A，kAF＝ eq \f(\f(\r(6),2)p,\f(3,4)p－\f(p,2)) ＝2 eq \r(6) ＝kAB，故正确．选项B，|OB|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(B)) ) ＝ eq \f(\r(7),3) p≠ eq \f(p,2) ，故错误．选项C，|AB|＝xA＋xB＋p＝ eq \f(25,12) p>2p＝4|OF|，故正确．选项D，易得 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝( eq \f(3,4) p， eq \f(\r(6),2) p)， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝( eq \f(p,3) ，－ eq \f(\r(6),3) p)， eq \(MA,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(p,4) ， eq \f(\r(6),2) p)， eq \(MB,\s\up6(→)) ＝(－ eq \f(2,3) p，－ eq \f(\r(6),3) p).因为 eq \(OA,\s\up6(→)) · eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(p2,4) －p2＝－ eq \f(3,4) p2<0，所以∠AOB为钝角．因为 eq \(MA,\s\up6(→)) · eq \(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(p2,6) －p2＝－ eq \f(5,6) p2<0，所以∠AMB为钝角，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故正确．选ACD.
答案：ACD
12．解析：将点A(1，1)的坐标代入x2＝2py(p＞0)，解得p＝ eq \f(1,2) .所以抛物线C：x2＝y，其准线方程为y＝－ eq \f(1,4) ，所以A错误．由y＝x2，求导得y′＝2x.当x＝1时，y′＝2，所以抛物线在点A(1，1)处的切线方程为y＝2x－1.令x＝0，得y＝－1，即切线y＝2x－1过点B，所以B正确．设直线PQ：y＝kx－1，P(x1，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )，Q(x2，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ).将PQ：y＝kx－1与C：x2＝y联立，得x2－kx＋1＝0，所以Δ＝k2－4＞0，x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以|OP|·|OQ|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(1)) ) · eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋x eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2)) ) ＝|x1x2| eq \r(1＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) · eq \r(1＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝ eq \r(2＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＞ eq \r(2＋2|x1x2|) ＝2＝|OA|2，所以C正确．因为|BP|·|BQ|＝ eq \r(1＋k2) |x1|· eq \r(1＋k2) |x2|＝1＋k2＞5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：拋物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－ eq \f(p,2) ，因为|PF|＝3，
所以2－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2))) ＝3⇒p＝2，把 P(2，m)代入抛物线方程中，得
m2＝2×2×2⇒m＝±2 eq \r(2) .
答案：±2 eq \r(2)
14．解析：由题意得直线方程为y＝ eq \r(3) (x－1)，联立方程，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x－1），,y2＝4x，)) 得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝ eq \f(10,3) ，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋ eq \f(10,3) ＝ eq \f(16,3) .
答案： eq \f(16,3)
15．解析：不妨设P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p)) ，∴Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(p,2)，0)) ， eq \(PQ,\s\up6(→)) ＝(6，－p)，
因为PQ⊥OP，所以 eq \f(p,2) ×6－p2＝0，∵p>0，∴p＝3，∴C的准线方程为x＝－ eq \f(3,2) .
答案：x＝－ eq \f(3,2)
16．解析：
如图，由题意得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)) ＝|AM|， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)) ＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，
∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，
所以∠MFO＋∠NFO＝ eq \f(π,2) ，所以MF⊥NF，又|MF|＝ eq \r(3) |NF|，所以∠NMF＝ eq \f(π,6) ，
所以∠MFO＝∠AFM＝ eq \f(π,3) ，故∠AFx＝ eq \f(π,3) ，所以直线AB的斜率为tan eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) .
答案： eq \r(3)