2023高考数学二轮复习专题08 幂函数与二次函数（原卷版）

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专题08 幂函数与二次函数【考点预测】1.幂函数的定义一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1；  ②的底数是自变量； ③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质3.常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.5．二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.（1）单调性与最值①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当
时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.【方法技巧与总结】1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根（2）方程有两个不等负根（3）方程有一正根和一负根，设两根为3.一元二次方程的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布图像限定条件
   在区间内没有实根 
在区间内有且只有一个实根在区间内有两个不等实根4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程的实根分布及条件题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题  【典例例题】
题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（       ）A． B．0或2 C．0 D．2例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；     ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.       【方法技巧与总结】确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足，，则（       ）A．-2 B．0 C．1 D．2例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．例10．（2022·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（       ）
A． B．C． D．例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.     【方法技巧与总结】紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数
时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 题型三：二次方程的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ）A． B． C． D．例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.      例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数，．(1)求的最大值及取最大值时的值；(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．     【方法技巧与总结】结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（       ）
A．0 B．1C．2 D．4例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．(1)求的表达式；(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．     例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．    例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.        例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
              例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.(1)求的解析式；(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.       【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（       ）A．，都有 B．，都有
C．，使得 D．，使得2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（       ）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为（       ）A．1或 B．1 C． D．4．（2022·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（       ）A．或 B．或 C．或 D．、或5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（     ）A． B．C． D．6．（2022·北京·高三专题练习）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是A．3 B．4 C．5 D．67．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（       ）A．m，n是奇数，且<1B．m是偶数，n是奇数，且>1C．m是偶数，n是奇数，且<1D．m是奇数，n是偶数，且>18．（2022·全国·高三专题练习）已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（       ）A．2 B．3 C．4 D．510．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（       ）A． B．C． D．11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（       ）A． B．C． D．12．（2022·全国·高三专题练习）设点满足．则点（       ）A．只有有限个 B．有无限多个C．位于同一条直线上 D．位于同一条抛物线上三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②当时，；③；14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式．   18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上单调递增.（1）求的解析式；（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.    19．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.   20．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数.(1)当时，函数定义域和值域都是，，求的值；(2)若函数在区间上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.  21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，(1)若函数在，上存在零点，求的取值范围；(2)设函数，，当时，若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围．    
   22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且.（1）求的值，并确定的解析式；（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.