2023高考数学二轮复习专题14 导数的概念与运算（原卷版）

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专题14 导数的概念与运算
【考点预测】
知识点一：导数的概念和几何性质
1.概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或．
知识点诠释：
① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2.几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3.物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1.求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）
















2.导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3.复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为 ：
【方法技巧与总结】
1.在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2.过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

【题型归纳目录】
题型一：导数的定义
题型二：求函数的导数
题型三：导数的几何意义
1.在点P处切线
2.过点P的切线
3.公切线
4.已知切线求参数问题
5.切线的条数问题
6.切线平行、垂直、重合问题
7.最值问题
【典例例题】
题型一：导数的定义
例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ）

A．
B．
C．
D．
例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数满足，则（       ）
A． B．1 C． D．2
例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（       ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为
例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ）
A． B． C．10 D．20
例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数（是的导函数），则（       ）
A． B． C． D．
例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足，则（       ）
A．1 B． C． D．4
【方法技巧与总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
题型二：求函数的导数
例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)


例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数：
(1)；
(2)
(3)


例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．






【方法技巧与总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.
题型三：导数的几何意义
1.在点P处切线
例11．（2022·河北·模拟预测）曲线在处的切线斜率为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．
例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ）
A． B． C． D．1
例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则（       ）
A．- B． C．1 D．-1
例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知，则曲线在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线在点处的切线方程为（       ）
A． B． C． D．
例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
2.过点P的切线
例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数过点的切线方程为（       ）
A． B． C．或 D．或
例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ）
A． B． C． D．
例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线的切线，则切点的纵坐标为（       ）
A．e B．1 C． D．
例22．（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
3.公切线
例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（       ）
A． B．1 C．e D．
例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（       ）
A．2 B． C． D．
例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（       ）
A．0 B．1 C．e D．
例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（       ）
A． B． C． D．
4.已知切线求参数问题
例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数在点处的切线方程为，则（       ）
A．或1 B．或 C．或2 D．或
例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数的图象在处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l的斜率为2，l与曲线：和圆：均相切，则（       ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
5.切线的条数问题
例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）
A． B． C． D．
例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（       ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点可以作三条直线与曲线C：相切，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例41．（2022·广东深圳·二模）已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
6.切线平行、垂直、重合问题
例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（       ）
A． B． C． D．
例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（       ）
A． B．1
C． D．2
例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（       ）
A． B． C． D．
7.最值问题
例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．，
例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的最短距离是（       ）
A． B． C． D．1
例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
例53．（2022·山东聊城·二模）实数，，，满足：，，则
的最小值为（       ）
A．0 B． C． D．8
例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（       ）
A． B． C． D．
例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线是曲线的切线，则的最小值为（       ）
A． B．0 C． D．3
【方法技巧与总结】
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线在点（1，f（1））处的切线方程为，则a＝（       ）
A．1 B． C．2 D．e
2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（       ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（       ）
A．2 B．-1 C．1 D．
4．（2022·河南·模拟预测（文））已知，则曲线在点处的切线方程为(       )
A． B．
C． D．
5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（       ）
A．5米/秒 B．8米/秒
C．14米/秒 D．16米/秒
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（       ）
A．0 B． C．3 D．或3
7．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（       ）
A． B．0 C．-1 D．
二、多选题
9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点可以作出曲线的切线l，且l最多有n条，，则（       ）
A． B．当时，a值唯一
C．当时， D．na的值可以取到﹣4
10．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（       ）

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（     ）
A．曲线的切线斜率可以是1
B．曲线的切线斜率可以是
C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条
D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条
12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线､，切点为､（､不重合），设直线､分别与轴交于点､，则下列结论正确的是（       ）
A．､两点的横坐标之积为定值 B．直线的斜率为定值；
C．线段的长度为定值 D．三角形面积的取值范围为
三、填空题
13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数则曲线在点处的切线方程为_______.
14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．
15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数，则__________.
16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知，且，，那么___________.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.


18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.

(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.



19．（2022·全国·高三专题练习）设函数.
(1)若在点处的切线为，求a，b的值；
(2)求的单调区间.



20．（2022·浙江·高三专题练习）函数， 直线l是在处的切线.
(1)确定的单调性；
(2)求直线l的方程及直线l与的图象的交点.

21．（2022·北京东城·三模）已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)设函数，若有两个实数根（），将表示为的函数，并求
的最小值.







22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知，函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)过原点分别作曲线和的切线和，求证：存在，使得切线和的斜率互为倒数．