2023高考数学二轮复习专题30 直线、平面平行的判定与性质（解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题30 直线、平面平行的判定与性质（解析版），共59页。

知识点一：直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点二：两个平面平行
1．定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
【方法技巧与总结】
线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线
性质
性质
性质
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
【题型归纳目录】
题型一：平行的判定
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
题型三：线面平行构造之平行四边形法
题型四：线面平行转化为面面平行
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
题型六：面面平行的证明
题型七：面面平行的性质
【典例例题】
题型一：平行的判定
例1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于A，因，，当时，而，则，
当时，在直线上取点，过作直线，则，过直线的平面，如图，
由得，于是得，而，则，而，所以，A正确；
对于B，若，，则，又，则存在过直线的平面，使得，
则有直线，即有，所以，B正确；
对于C，如图，在长方体中，平面为平面，直线为直线，
平面为平面，直线为直线，满足，，，而，C不正确；
对于D，若，，则，又，于是得，D正确．
故选：C
例2．（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
（1）、都垂直于平面r，那么∥．
（2）、都平行于平面r，那么∥．
（3）、都垂直于直线l，那么∥．
（4）如果l、m是两条异面直线，且∥，∥，∥，∥，那么∥
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确．
故选：D
例3．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（ ）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，
因为、分别为、的中点，则，
若平面，平面，平面平面，则，
在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾．
假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行．
故选：D．
例4．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知是不全平行的直线，是不同的平面，则下列能够得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知，选项A错误；
对于B，由平面与平面平行的判定定理可知，若，则结论不成立，所以选项B错误；
对于C，因为是不全平行的共面直线，即至少两条相交，所以成立．故选C正确；对于D，由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知，选项D错误．
故选：C
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．，则
B．，，则
C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【答案】D
【解析】，则或，故选项A错误；
，，则或，故选项B错误；
当平面与平面相交时，可以在平面内找到不共线三点到平面β的距离相等，故选项C错误；
如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确．
故选：D．
例6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在正方形中，M，N分别是，的中点，则直线AM与平面BND的位置关系是（ ）．
A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．无法确定
【答案】B
【解析】连接交于，连接，而M，N分别是，的中点，
所以，即，且，即，
则为平行四边形，故，
由面，面，则面．
故选：B
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知三条直线a，b，c和两个平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】A：，则或，错误；
B：，则或，错误；
C：，则可能相交或平行，错误；
D：由为两个平面且、，故且，
由，则，又，，，则，
所以，正确．
故选：D
【方法技巧与总结】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
题型二：线面平行构造之三角形中位线法
例8．（2022·山西吕梁·三模（文））如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：如图，连接交于点，连接．
因为底面是平行四边形，所以是的中点．
又是的中点，所以．
因为平面平面，所以平面
（2）因为矩形中为的中点，
所以，所以．
因为，
所以
所以．
因为，平面，平面
所以平面．
因为平面，所以．
又，平面，平面
所以平面．因为，
所以，
所以
例9．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，O，M分别为AB，VA的中点．求证：平面MOC．
【解析】证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以，
又因为平面MOC，平面MOC，所以平面MOC．
例10．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，是棱上一点．
若，求证：平面．
【解析】连接，记与的交点为，连接．
由，得，，又，则，
∴，又平面，平面，
∴平面．
例11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点，求证：侧面；
【解析】（1）证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以，为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面．
例12．（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．
证明：∥平面；
【解析】延长交于点P，延长交于O点，连接．因为点M，N分别为和的重心，所以点P，
O分别为和的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
例13．（2022·全国·高三专题练习）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
证明：平面；
【解析】证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面
【方法技巧与总结】
（1）初学者可以拿一把直尺放在位置（与平齐），如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接，如图三；
（4）此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点），，如图四．
图一图二图三图四
题型三：线面平行构造之平行四边形法
例14．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图，，O分别是圆台上、下底的圆心，AB为圆O的直径，以OB为直径在底面内作圆E，C为圆O的直径AB所对弧的中点，连接BC交圆E于点D，，，为圆台的母线，．
证明；平面；
【解析】连接，C为圆O的直径AB所对弧的中点，
所以△为等腰直角三角形，即，
又在圆上，故△为等腰直角三角形，
所以且，又是母线且，则，
故且，则为平行四边形，
所以，而面，面，
故平面．
例15．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
求证：平面；【解析】在四棱台中，四边形为平行四边形，且，点E为棱BC的中点，连，如图，
则有，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
例16．（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点．
证明：平面；
【解析】证明：取EC的中点G，连接NG，BG，
因为点分别为线段的中点．
所以，
又，
所以，
所以四边形MBGN是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
例17．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．
求证：平面；
【解析】证明：取的中点，连接，，
又是的中点，所以，且．
因为四边形是矩形，所以且，所以，且．
因为是的中点，所以，所以且，
所以四边形是平行四边形，故．
因为平面，平面，
所以平面．
例18．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方形与直角梯形所在平面相互垂直，，，．求证：平面；
【解析】设，取中点，连接、，
∵四边形是正方形，
∴是的中点，又是的中点，∴，，
∵四边形是直角梯形，，，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面，即平面；
例19．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，P在以AD为直径的圆O上，平面平面PAD．设点Q是AP的中点，求证：BQ平面PCD；
【解析】证明：设为中点，连接，又Q是AP的中点，即且，
又，，故且，
所以为平行四边形，故，
由面，面，则面．
例20．（2022·江苏·矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证：平面；
【解析】（1）设，连接，
因为是正方形，所以是中点，
又因为是矩形，是线段的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
例21．（2022·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））如图，在四棱锥中，已知平面平面ABCD，，，，AE是等边的中线．
证明：平面．
【解析】证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．
因为E是棱PD的中点，所以，且．
因为，，所以，，
所以四边形ABFE是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
例22．（2022·全国·高三专题练习）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
（1）证明：平面；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【解析】（1）如图所示：
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）如图所示：
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．
【方法技巧与总结】
（1）初学者可以拿一把直尺放在位置，如图一；
（2）然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止，如图二；
（3）此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接， 如图三；
（4）此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），，如图四．
图一 图二 图三 图四题型四：线面平行转化为面面平行
例23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
求证：平面；
【解析】取的中点为，连接，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，则，
而平面，平面，故平面，
而，则，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面．
例24．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，，平面，，且，E，F分别为，的中点．
证明：面ABCD；
【解析】（1）证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，
因为，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，
，又平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为，平面，
所以平面平面ABCD，
因为平面ABCD，所以平面ABCD．
例25．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）如图、三棱柱的侧棱垂直于底面，是边长为2的正三角形，，点在线段上且，点是线段上的动点．
当为多少时，直线平面？
【解析】当点是线段上靠近点的三等分点时，平面
过点作交于点，过点作交于点，连接
平面
平面
，面
平面
又，则平面平面
平面
平面．

当时，平面．
例26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且分别为的中点，现将沿折起，得到四棱锥，连接

证明：平面；
【解析】（1）在四棱锥中，取的中点，连接．
因为分别为的中点，，
所以
又平面， 平面，所以平面，
同理可得，平面，又平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面．
例27．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
【解析】存在．理由如下：
在上取点，在上取点，
使得，则 ， 平面，
故平面，而
而，故是平行四边形，故平面，
故平面，而 ，
故平面平面，而平面，得平面平面，
在中，，
．
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知将圆柱沿着轴截面分割，得到如图所示的几何体，若四边形是边长为2的正方形，E，F分别是上的点，H是的中点，与交于点O，．
求证：平面；
【解析】证明：由题意知，又，所以H为的中点．
连接，因为为的中点，所以．
又平面， 平面， 所以平面；
易知，又平面， 平面， 所以平面
又平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
例29．（2022·河北·高三专题练习）如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
（2）
在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，平面，平面，平面，
，平面平面，得平面
例30．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，、、都是圆柱的母线．
求证：平面；
【解析】证明：连接、，
在圆柱中，为圆的直径，、是的两个三等分点，
则，且，
故、、均为等边三角形，
所以，在底面中，，则，
平面，平面，所以，平面，
因为、、都是圆柱的母线，则，
平面，平面，平面，
，所以，平面平面，
因为平面，因此，平面．
【方法技巧与总结】
本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行
题型五：利用线面平行的性质证明线线平行
例31．（2022·福建·三模）如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形．是棱上的点， ，过的平面与直线垂直，且平面平面．
在图中画出，写出画法并说明理由；
【解析】如图，在内过作，交于，则直线即为直线．
理由如下：取的中点，连结，，
因为和均为等边三角形，
所以，，所以，，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以直线即为直线．
例32．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．求证：；
【解析】证明：在梯形中，，平面，平面，
平面．
又平面，平面平面，
所以．
例33．（2022·山东青岛·二模）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．
设平面平面，证明：；
【解析】因为四边形OBCH为正方形，∴，
∵平面POH，平面POH，∴平面POH．
∵平面PBC，平面平面，∴．
例34．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（ ）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面，则；
在正方体中，易证平面，故，所以，即与所成角的大小为．
故选：．
例35．（2022·全国·高三专题练习）如图，己知三棱锥中，为正三角形，，D，E分别为，的中点，经过的平面与分别交于点G，F，且．求证：四边形是平行四边形；
【解析】证明：平面，平面PAC，平面，平面，
，，
D，E分别为，的中点，，
又平面，平面，平面，
，平面，，
四边形是平行四边形．
例36．（2022·全国·高三专题练习） 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点．
记平面与平面的交线为，求证：直线平面；
【解析】因为分别是的中点
所以，
又因为平面，平面
所以平面
又平面，平面与平面的交线为，
所以，
而平面，平面，
所以平面
例37．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））如图，四棱锥的底面是平行四边形，设平面与平面的交线为直线．
证明：∥平面；
【解析】因为四边形是平行四边形，
所以，
因为平面平面，
所以平面，
又因为平面平面平面，
所以，因为平面平面，
所以平面．
例38．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．
若平面，求的值；
【解析】连接，交于点，连接；
平面，平面，平面平面，
，；
，，，
，即的值为．
【方法技巧与总结】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
题型六：面面平行的证明
例39．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
证明：平面BMN∥平面PCD；
【解析】证明：连接BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD．
∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD．又BM平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD．
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD．
又MN平面PCD，PD⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD．
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD．
例40．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点，分别是棱，的中点．求证：平面平面．
【解析】∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，
∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；
同理∥，∵平面，平面，∴∥平面；
又，∴平面∥平面．例41．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱柱中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱，，的中点．
证明：平面平面；
【解析】证明：连接EG，．
因为E，G分别是棱，的中点，所以，．
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则．
因为平面，平面，
所以平面．
因为E，F分别是棱，的中点，所以．
因为，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，且，
所以平面平面．
例42．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点．
求证：平面平面BDF；【解析】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，
所以．
因为，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以
又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
同理，，又平面BDF，平面BDF，
所以平面．
又，平面，
所以平面平面
【方法技巧与总结】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
题型七：面面平行的性质
例43．（2022·黑龙江·高三阶段练习（理））四棱锥的底面是边长为2的菱形，，底面，，，分别是，的中点．
已知，若平面平面，求的值；
【解析】若平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可知：，
于是，由为的中点知：为的中点，故，
所以．
例44．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在长方体中，，P为的中点．
已知过点的平面与平面平行，平面与直线分别相交于点M，N，请确定点M，N的位置；
【解析】依题意，如图，平面平面，平面平面，平面平面，
则，在长方体中，，则有四边形为平行四边形，
于是得，即点M是棱AB的中点，同理点N是棱的中点，
所以分别是棱的中点．
例45．（2022·四川·模拟预测（理））如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．
确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明；
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连结CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连结DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
例46．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明
【解析】证明：如图所示：
取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连接DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥αB．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥βD．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】D
【解析】A选项，m⊥n，m⊥α，则可能，故A错误；
B选项，，，则可能，故B错误；
C选项，，，则可能，也可能，故C错误；
D选项，因为，，所以或，当时，因为，所以由面面垂直的判定定理知，当时，存在且，所以，所以可得，故D正确．故选：D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体中，，，，分别为棱和的中点，为长方体表面上任意一点．若平面，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解析】如图所示，取，分别为棱和的中点，连接，
由题意易知，
所以；
又易知，
故可以证明平面平面；
又平面，由面面平行的性质可知平面，
所以由题意可知在等腰梯形四条边上运动，
过点作，交于点，
由题意可知，
所以，
所以，
又，
所以故当与点重合时，的值为最大值，此时；
故选：C
3．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若，是两个不同平面，，是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）
A．，，，
B．，，
C．，，，
D．，，
【答案】A
【解析】对于A，如图，，，结合，，可知，故A正确；
对于B，如图，，可能异面，故B错误；
对于C，如图，，可能相交，故C错误；
对于D，如图，可能相交，故D错误．
故选：A．4．（2022·全国·高三专题练习（文））下列四个命题，真命题的个数为（ ）
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；
（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；
（3）平行于同一个平面的两条直线平行；
（4）a与b为空间中的两条异面直线，点A不在直线a，b上，则过点A有且仅有一个平面与直线a，b都平行．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】命题（1）：由直线垂直平面的定义可知，
若直线垂直于一个平面的任意直线，则该直线垂直于该平面，故命题（1）错误；
命题（2）：由直线与平面垂直的性质定理可知，
过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故命题（2）正确；
命题（3）：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，故命题（3）错误；
命题（4）：如图，当点A在如图上底面时，不存在平面同时平行于直线a、b；点A不在异面直线a、b上，若点A在直线a、b之间，则可以确定一个平面同时平行于直线a、b；若点A在直线a、b的外侧，也可以确定一个平面同时平行于直线a、b，故命题（4）错误．
故选：B．
5．（2022·广东广州·三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，分别为的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线与直线异面
B．直线与直线异面
C．直线平面
D．直线平面【答案】B
【解析】
由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接，易得，则，
故共面，则共面，故B错误；又面，面，不在直线上，则直线与直线异面，A正确；
由，平面，平面，则直线平面，C正确；
平面，平面，则直线平面，D正确．
故选：B．
6．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图，取中点，中点，连接，
所以，正方体中，易得，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，
可得，
则当在中点时，取得最小值为，
当在两端时，取得最大值为，
所以长度的取值范围是．
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【解析】如图所示，
作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E交平面KSHG于点N，M，连接MN，
由面面平行的性质得MN∥平面ABCD，
由于平面KSHG有无数多个，
所以平行于平面ABCD的MN有无数多条，
故选：D．
8．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知平面与棱柱上，下底面分别交于，，
则∥，，
显然是三棱台，
设的面积为1，的面积为S，三棱柱的高为h，
，
解得，
由，可得．
故选：D．
二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；
对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；
对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；
对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；
故选：BCD
10．（2022·全国·高三专题练习）在正四面体A－BCD中，，点O为的重心，过点O的截面平行于AB和CD，分别交BC，BD，AD，AC于E，F，G，H，则 （ ）
A．四边形EFGH的周长为8
B．四边形EFGH的面积为2
C．直线AB和平面EFGH的距离为
D．直线AC与平面EFGH所成的角为
【答案】BCD
【解析】O为 的垂心，连AO延长与CD交于M点，则
∴，∴，，，∴，
∴周长为6，A错．
，则，B对．
将四面体补成一个长方体，则正方体边长为，∴
P，Q分别为AB，CD中点，PQ⊥平面EFGH，
∴A到平面EFGH距离，C对AC与PQ夹角为，则AC与平面EFGH的夹角为，D对
故选：BCD
11．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，则（ ）
A．
B．
C．与相交，且交线平行于l
D．与相交，且交线垂直于l
【答案】BC
【解析】由平面，，且，所以，又平面，，所以，故B正确，
由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，故A错误，
如图所示：设，
由平面，，平面，，作，使得与相交，记与构成平面，易知，又直线l满足，，，与相交，则，故而，则交线平行于l，故C正确，D错误；
故选：BC
12．（2022·全国·模拟预测）在正方体中，，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得
B．对任意的，都有
C．对任意的，都有平面
D．当时，直线与平面所成角的正切值为
【答案】ABC
【解析】对于A，如图所示
连接，当时，即，因为，，
所以，即，故A正确．
对于，因为，，且，
所以平面，平面，所以，
因为，，且，
所以平面，因为平面，所以，
又，所以平面，因为平面，所
以，故B正确．
对于C，因为，又平面，平面，
所以平面，易知，平面，平面，
所以平面，连接，因为，
所以平面平面，因为平面，所以平面，故C正确．
对于D，易知平面，设垂足为，连接，
则直线与平面所成的角为，
设该正方体的棱长为1，连接，易知四面体是棱长为的正四面体，
当时，点为的中点，
所以，故D不正确．
故选：ABC．
三、填空题
13．（2022·安徽省含山中学三模（文））三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．【答案】2
【解析】因为平面，平面平面，平面ABC，
所以EH，又点E为中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故．
同理，
所以四边形的周长为2．
故答案为：2
14．（2022·全国·高三专题练习（文））如图所示，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，若平面，则_______
【答案】
【解析】连接交于点，连接，
∵平面，平面，平面平面，∴，又，∴．
故答案为：．
15．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1P＝A1Q＝x（0设平面MEF∩平面MPQ＝l，现有下列结论：①l//平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中成立的结论是________．（写出所有成立结论的序号）
【答案】①②③
【解析】连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，
∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，
又平面MEF∩平面MPQ＝l，
∴PQ∥l，同理可证：l∥EF，
∴l∥平面ABCD，故①成立；
又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；
∵l∥EF∥BD，而与平面BCC1B1不垂直∴直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；
当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．
故答案为：①②③
16．（2022·全国·模拟预测）已知在长方体中，，AB＝2，平面过棱AB，BC，的中点，点底面ABCD．若直线平面，则的最小值为______．
【答案】【解析】记棱AB，BC，的中点分别为E，F，G，连接EF，FG，EG，，，AC，，如图所示：
则平面即为平面EFG．
因为，，
所以，且平面EFG，平面EFG，
所以平面EFG，
同理可得AC 平面EFG．而，
所以平面平面EFG，故点M在线段AC上．
而，
故只需BM最小即可，
BM的最小值即为点B到线段AC的距离，
故的最小值为．
故答案为：
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．求证：平面；
【解析】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，
，则，
又平面，平面，故平面，
，则，同理可得平面，
而，平面，故平面平面，
又平面，故平面
18．（2022·全国·高三专题练习）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点．记平面与平面的交线为，求证：直线平面
【解析】因为分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面与平面的交线为，所以，
而平面，平面，所以平面PAC．
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱锥中，，，是边的中点，过作截面交于点．求证：；
【解析】证明：如图，在直三棱锥中，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
20．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点E在棱上，且，点F是棱上的一个动点．点F在什么位置时，平面，并说明理由．
【解析】点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面，理由如下：
以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，
则，设，
故 ，
设平面的法向量为，
则 ，令得：，
所以，
因为，
令，
解得：，
所以当点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面．
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点为线段上的点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，且在线段上存在一点，使得平面．请确定点的位置．并证明你的结论．【解析】（1）证明：为矩形
又
平面，
平面
平面平面
（2）取三等分点，使得，
连接平面平面则平面
延长交于点，
，∴，即
为BC中点
22．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱柱中，点M是线段上的一个动点，E，F分别是的中点．
（1）设G为棱上的一点，问：当G在什么位置时，平面平面？
（2）设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求．
【解析】（1）
G为中点时，平面平面，理由如下：连接，取的中点，连接，
因为E，F分别是的中点，则，平面，平面，则平面，
同理可得，平面，平面，则平面，
又，平面，则平面平面；
（2）由F是的中点得，又，平面，平面，则平面，
又点M是线段上的一个动点，则，
则，则．