2023届高考数学二轮复习专题3第1讲空间几何体作业含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题3第1讲空间几何体作业含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二篇　专题三　第1讲　空间几何体一、选择题1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　C　)A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形【解析】根据题意，将△A′B′C′还原成原图，如图，原图中，则有OC＝OA＝OB，则△ABC是等腰直角三角形；故选C.2．如图，半径为R的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为(　D　)A．　　 B．　　C．　　 D．R【解析】设球的球心为O，半径为R，体积为V，上面圆锥的高为h(h<R)，体积为V1，下面圆锥的高为H(H>R)，体积为V2，两个圆锥共用的底面的圆心为O1，半径为r.由球和圆锥的对称性可知h＋H＝2R，|OO1|＝H－R.∵V1＋V2＝V，∴πr2h＋πr2H＝×πR3，∴r2(h＋H)＝R3.∵h＋H＝2R，∴r＝R.∵OO1垂直于圆锥的底面，∴OO1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R2＝r2＋|OO1|2，∴R2＝r2＋(H－R)2，∴H＝R，∴h＝R，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R，故选D.3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则等于(　C　)A．　　 B．　　C．　　 D．【解析】如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，则lR＝2πr2，即·2π·r·R＝2πr2，解得R＝2r，故∠ADC＝30°，则△DEF为等边三角形，设B为△DEF的重心，过B作BC⊥DF，则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，则＝，∴＝，故＝.4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积(　B　)A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【解析】由已知得V三棱锥O－AEF＝V三棱锥E－OAF＝S△AOF·h(h为点E到平面AOF的距离).连接OC，因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值．又AO∥A1C1，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，所以△AOF的面积是定值，所以三棱锥O－AEF的体积与x，y都无关．5．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　C　)A．　　 B．　　C．　　 D．2π【解析】如图，过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝.6．如图，在三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，VA＝VB＝VC，若三棱锥V－ABC的内切球O的表面积为6π，则此三棱锥的体积为(　D　)A．6　　 B．18　　C．6　　 D．18【解析】连接VO，并延长交底面ABC于点E，连接AE，并延长交BC于D，∵在三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，VA＝VB＝VC，∴三棱锥V－ABC是正四面体，∴E是△ABC的重心，∴VE⊥平面ABC，∵三棱锥V－ABC的内切球O的表面积为6π，∴4πr2＝6π，解得球O的半径r＝OE＝，设AB＝a，则AE＝AD＝＝，VE＝＝a，∴AO＝VO＝a－，∵OE⊥AE，∴AE2＋OE2＝AO2，∴＋＝，解得a＝6，∴VE＝×6＝2，∴此三棱锥的体积为V＝S△ABC·VE＝××6×6×sin 60×2＝18.故选D.7．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为(　B　)A．　　 B．C．81π　　 D．128π【解析】小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5).由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圆柱的体积V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0<h<5)，把V看成是关于h的函数，求导得V′＝－π(3h－5)(h＋5).当0<h<时，V′>0，V单调递增；当<h<5时，V′<0，V单调递减．所以当h＝时，小圆柱的体积取得最大值．即Vmax＝π×＝，故选B.二、填空题8．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF的体积是__8__．【解析】因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥A－A1EF的体积VA－A1EF＝VE－A1AF＝S△A1AF·BH＝××6×4×2＝8.9．已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为____．【解析】如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝＝＝.又由题意可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝，∴B1P＝＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝，知的长为×＝，即交线长为.10．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__1__．【解析】如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，可知πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.11．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝__2600π__cm2.【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2).12．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为____．【解析】如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝，PGCD，AFD1G.由题意可知CDC1D1，∴PGC1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1D1G，∴PC1AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝，PF＝，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝AC1·PF＝××＝.三、解答题13．(2021·浙江高三期末)如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝5，BB1＝4，CC1＝3，求：(1)该几何体的体积；(2)该几何体的表面积．【解析】　(1)把几何体ABC－A1B1C1补成直棱柱A1B1C1－ADE，如图，作C作与底面平行的截面CMN，则截得两个直棱柱，则AM＝2，BN＝BD＝1，CE＝2，S△A1B1C1＝×2×2＝2，VADE－MNC＝2×2＝4，VMNC－A1B1C1＝2×3＝6，所以VABC－A1B1C1＝6＋4×＝8；(也可求出四棱锥C－ABNM的体积为2)(2)A1C1＝2，因此SABB1A1＝×(5＋4)×2＝9，SBB1C1C＝×(4＋3)×2＝7，SCC1A1A＝×(3＋5)×2＝8，又AC＝＝2，BC＝＝＝AB，等腰三角形ABC的底边AC上的高为h＝＝，S△ABC＝×2×＝，所以所求表面积为S＝2＋＋9＋7＋8＝18＋8＋.