2023届高考数学二轮复习专题5第3讲圆锥曲线的综合问题作业含答案

第二篇　专题五　第3讲　圆锥曲线的综合问题

1．(2022·合肥模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作斜率为1的两条直线，这两条直线之间的距离为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点M，直线l与OM(O为坐标原点)平行且与C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值．

【解析】(1)因为分别过F1，F2所作的两条直线的斜率为1，故其倾斜角为，

又两直线间的距离为，

所以焦距2c＝2，所以c＝1，

因为离心率e＝＝，

所以a＝2，

所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)kOM＝＝，

由OM∥l，可设直线l的方程为y＝x＋n(n≠0)，

代入3x2＋4y2＝12并整理得3x2＋3nx＋n2－3＝0.

由直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点得Δ＝9n2－12(n2－3)>0，

解得0<n2<12.

由韦达定理得，x1＋x2＝－n，x1x2＝.

所以|AB|＝＝＝，

又点M到直线l的距离d＝.

所以S△MAB＝|AB|·d＝·＝.

因为≤＝6.

所以当且仅当n＝12－n2，即n＝±(适合0<n2<12)时，

△MAB面积的最大值为.

2．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

(1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．

【解析】(1)将点P代入C的方程得4＝2p，即p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x，

显然l斜率存在且不为0，设为k，则l：y＝kx＋1，

由消去y得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)

由已知，方程(*)有两个不同的根，且1不是方程的根(因为PA，PB都与y轴有交点)，

所以Δ＝－16k＋16>0且k2＋(2k－4)＋1≠0，

即k<0或0<k<1，且k≠－3，且k≠1，

所以k<0或0<k<1，且k≠－3，

即直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线PA方程为y－2＝(x－1)，

令x＝0得y＝－＋2，

即点M为，

所以＝，

又＝(0，－1)，＝λ，

所以＝λ(0，－1)，

所以λ＝－1＝，＝，

又点A(x1，y1)在直线l：y＝kx＋1上，

所以＝＝＝－，

同理＝－.

由(1)中方程(*)及根与系数的关系得，

x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以＋＝－＋－

＝－＝－·

＝－·＝＝2，

即＋为定值2.

3．已知椭圆C：＋y2＝1，点P(0，1)，设直线l不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为－1，求证：l过定点．

【证明】设直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，

由题设可知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，，

则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．

从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).

将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

而k1＋k2＝＋

＝＋

＝.

由题设k1＋k2＝－1，

故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0，

即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，

解得k＝－.

当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，

即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1).

4．(2022·临沂模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过焦点F斜率为的直线交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，交抛物线准线于G，且满足|BG|＝.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)已知C，D为抛物线上的动点，且OC⊥OD，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；

(3)在(2)的条件下，求·的最大值．

【解析】　(1)过点B作准线的垂线，垂足为H，设准线与x轴相交于点M，如图，

由题知，直线的倾斜角为，

∴在Rt△BGH中，∠GBH＝，

又∵|BG|＝，∴|BH|＝，∴|BF|＝.

∴|GF|＝|BG|＋|BF|＝4，

∴在Rt△GFM中，又∠MFG＝，

∴|MF|＝2，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x.

(2)由(1)可知，抛物线方程为y2＝4x，

设直线CD的方程为：x＝my＋t，

C，D，

直线与抛物线联立

得y2－4my－4t＝0，

则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，

∵kOC＝，kOD＝且OC⊥OD，

∴kOC·kOD＝＝＝－1，

则t＝4，

∴直线CD过定点(4，0)，即P点坐标为(4，0)，

(3)由(2)可知P点坐标为(4，0)，

∴·＝－(y＋y)＋16＋y1y2＝－16m2－16，

∴·的最大值为－16.