2023届高考数学二轮复习专题6第2讲基本初等函数、函数与方程作业含答案

第二篇　专题六　第2讲　基本初等函数、函数与方程

一、选择题

1．(2020·全国Ⅰ)设alog34＝2，则4－a等于(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】方法一：因为alog3 4＝2，

所以log3 4a＝2，

所以4a＝32＝9，

所以4－a＝＝.

方法二：因为alog3 4＝2，

所以a＝＝2log4 3＝log4 32＝log4 9，

所以4－a＝4－log4 9＝4log4 9-1＝9-1＝.

2．(2021·新疆模拟)函数f(x)＝2x＋lnx－1的零点所在的区间为(　B　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】f(x)＝2x＋ln x－1是在(0，＋∞)上的增函数．

f＝＋ln －1＝－1－ln 2，

∵－1＜，ln 2＞ln ＝，

∴f＝－1－ln 2＜0，

又∵f(1)＝2＋ln 1－1＝1＞0，

∴函数f(x)的零点所在区间是.

故选B.

3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝loga(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为(　A　)

【解析】由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝∈(0，2)，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A正确．

4．(2022·成都模拟)已知a＝sin4，b＝ln4，c＝4－，则a，b，c的大小关系是(　C　)

A．c＜b＜a　　 B．a＜b＜c

C．a＜c＜b　　 D．b＜c＜a

【解析】∵π＜4＜2π，∴a＝sin 4＜0.

∵b＝ln 4＞ln e＝1，∴b＞1.

∵c＝4－＝＝＝＜1，

∴0＜c＜1.可知a＜c＜b.

故选C.

5．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．由于纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为ω(单位mm)，厚度为x(单位mm)的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为ω，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤log2，根据以上信息，一张长边为315mm，厚度为0.075mm的矩形纸张最多能对折(　　)次(　C　)

A．6　　 B．7　　

C．8　　 D．9

【解析】依题意可得n≤log2＝log2 4 200＝＝＝≈≈8.05，即最多能对折8次，故选C.

6．(2020·济南模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是(　A　)

A．(－∞，－1)　　 B．(－∞，－1]

C．(1，＋∞)　　 D．[1，＋∞)

【解析】当x>0时，f(x)＝1－2－x>0.

又f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(x)<－的解集和f(x)>的解集关于原点对称，

由1－2－x>得2－x<＝2-1，

即x>1，则f(x)<－的解集是(－∞，－1).故选A.

7．(2021·重庆八中高三月考)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋a，若g(x)存在两个零点，则实数a的取值范围是(　A　)

A．[－1，0)　　 B．(－1，0)

C．(0，1)　　 D．(0，1]

【解析】　由题，g(x)存在两个零点，等价于f(x)的图象与y＝－a的图象有2个交点，画出f(x)的函数图象如下：

由数形结合可知0<－a≤1，即－1≤a<0.

故选A.

8．已知函数f(x)＝若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的解，则a的取值范围是(　D　)

A．(1，2)　　 B．

C．　　 D．∪

【解析】作出f(x)＝＋1，x≠0的图象如图所示．

设t＝f(x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，

解得t1＝a，t2＝.

由图象可知，若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只有当直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1<a<2.

又方程2t2－(2a＋3)t＋3a＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝(2a＋3)2－4×2×3a＝(2a－3)2>0，

解得a≠，综上，得1<a<2，且a≠.

二、填空题

9．已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝__－3__．

【解析】当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.

因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，

所以f(ln 2)＝e－a ln 2＝＝8，所以a＝－3.

10．已知f(x)＝则f(f(1))＝__16__．

【解析】　由f(x)＝知，

f(1)＝4＝－2，

故f(f(1))＝f(－2)＝24＝16.

11．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为__[－3，－1)∪[3，＋∞)__．

【解析】由题意得

g(x)＝

即g(x)＝

如图所示，

因为g(x)恰有两个不同的零点，

即g(x)的图象与x轴有两个交点．

若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，

则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，

则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.

若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，

则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，即－3≤a<－1，

综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞).

12．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex-2＋x－3与g(x)＝x2－ax－x＋4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是__[3，4]__.

【解析】由题意知，函数f(x)的零点为x＝2，

设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1，

因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.

方法一：因为函数g(x)的图象开口向上，

所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1，3]上，

则需满足g(1)g(3)≤0，或

解得≤a≤4，或3≤a<，得3≤a≤4.

故实数a的取值范围为[3，4].

方法二：因为g(μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0，

a＝＝μ＋－1，

因为1≤μ≤3，所以3≤a≤4.

故实数a的取值范围为[3，4].

三、解答题

13．(2021·山东高三一模)已知函数f(x)＝

(1)若a＝2，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a的取值范围．

【解析】　(1)a＝2时，f(x)＝

当x≤0时，f′(x)＝2(x＋2)ex，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，

此时f(x)的极小值为f(－2)＝－；

当x>0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

此时f(x)的极小值为f(1)＝－；

因为－>－，所以f(x)的最小值为－.

(2)显然a≠0；

因为x≤0时，f(x)有且只有一个零点－1，

所以原命题等价于f(x)在(0，＋∞)上有两个零点．

所以解得a>，

故实数a的取值范围是(，＋∞).