2023届高考数学二轮复习专题四第2讲概率、随机变量及其分布学案

第2讲　概率、随机变量及其分布

考情分析

1．考查古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度．

2．离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度．

自主先热身　真题定乾坤

ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身

1．(2022·全国新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】　从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C＝21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝＝.故选D.

2．(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】　从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，15种情况，

其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，6种情况，

故概率为＝.故选C.

3．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____．

【解析】　从5名同学中随机选3名的方法数为C＝10，

甲、乙都入选的方法数为C＝3，

所以甲、乙都入选的概率P＝.

4．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为____．

【解析】　从正方体的8个顶点中任取4个，

有n＝C＝70个结果，

这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12个，

故所求概率P＝＝＝.

5．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝__0.14__．

【解析】　因为X～N(2，σ2)，

所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，

因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.

6．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【解析】　(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为

P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)

＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2

＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.

(2)依题可知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，

P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，

P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，

P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，

P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.

即X的分布列为

期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.

感悟高考

1．概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．

2．选择或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．

3．近几年概率的解答题的难度有所增加，位置有时在20或21题．

核心拔头筹　考点巧突破

HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　

考点一　古典概型

古典概型的概率公式

P(A)＝＝.

典例1 (1)(2022·山东临沂三模)正2022边形A1A2…A2022内接于单位圆O，任取其两个不同顶点Ai，Aj，则|＋|≤1的概率是(　B　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】由|＋|2＝2＋2＋2·＝2＋2cos ∠AiOAj≤1，可得cos ∠AiOAj≤－，

因为0≤∠AiOAj≤π，所以≤∠AiOAj≤π，

对于任意给定的向量(1≤j≤2 022)，

满足条件|＋|≤1的向量的取法有÷＋1＝675，

因此，|＋|≤1的概率为P＝.

故选B.

(2)(2021·重庆高三三模)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，可组成孪生素数的概率为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】　不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，共6个，任取两个构成素数对，则有：(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(2，13)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(3，13)，(5，7)，(5，11)，(5，13)，(7，11)，(7，13)，(11，13)，共15种取法，而是孪生素数的有(3，5)，(5，7)，(11，13)，这三种取法，所以其概率为P＝＝.故选A.

【素养提升】古典概型求解的关键点

(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识．

(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．

1．(1)纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

(2)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】(1)设编号为偶数的球被连续抽取出来为事件A，

∵基本事件总数为A，

事件A包含的基本事件数为A·A，

∴P(A)＝＝，

故选C.

(2)现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n＝C，能成为两组的基本事件个数m＝C，则能成为两组的概率是P＝＝＝.

考点二　随机变量的分布列

1．超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.

2．二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.

考向一　超几何分布

典例24月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值．

【解析】(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C＝66(种)，

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C＋2C＋C＝13(种)，

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝.

(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4，2，

所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0，1，2，

因为P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

2．PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．

【解析】(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，

则P(A)＝＝.

(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.

P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3).

∴P(ξ＝0)＝＝，

P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝.

故ξ的分布列为

考向二　二项分布

典例3(2022·四川德阳市模拟)某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分)，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4名学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于(10，30]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．

【解析】　(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为：

[0，10]的频率为：0.010×10＝0.1；

(10，20]的频率为：0.020×10＝0.2；

(20，30]的频率为：0.030×10＝0.3；

(30，40]的频率为：0.025×10＝0.25；

(40，50]的频率为：0.015×10＝0.15，

∴＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5(分).

(2)根据题意得每个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于(10，30]内的概率为0.2＋0.3＝0.5，

所以X～B，

X的可能取值为：0，1，2，3，4，

P(X＝0)＝C＝，

P(X＝1)＝C＝，

P(X＝2)＝C＝，

P(X＝3)＝C＝，

P(X＝4)＝C＝，

∴X的分布列为：

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.

【素养提升】随机变量分布列问题的两个关键点

(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．

(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．

3．(2022·潍坊模拟)某公司生产一种消毒液，为测试消杀效果，测试车间用该消毒液对8个染菌不锈钢载片进行测试：第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测，若检测出不超过1个载片没有消杀效果，则该消毒液合格，测试结束；否则，10分钟后对没有产生消杀效果的载片进行第二轮测试，如果第二轮被测试的载片都产生消杀效果，则消毒液合格，否则需要对该消毒液成分进行改良．假设每个染菌载片是否产生消杀效果相互独立，每次消杀检测互不影响，且每次消杀检测每一个染菌载片产生效果的概率均为p(0＜p＜1).

(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率；

(2)每进行一次载片测试视为一次检测，设检测次数ξ的数学期望为E(ξ)，求证：8＜E(ξ)＜16－8p.

【解析】(1)由题意可得经过第一轮测试该消毒液即合格有两种情况：8个载片均有效果，或7个载片均有效果．

∴经过第一轮测试该消毒液即合格的概率＝p8＋Cp7(1－p)＝p7(8－7p).

(2)证明：第一轮测试，逐一对这8个载片进行消杀检测，共检测8次，第一轮未产生效果的有8－8p个载片．

因此第二轮检测的次数为8－8p，

∴E(ξ)＝8＋8－8p＝16－8p，即为最多次数．

∴8＜E(ξ)＜16－8p.(0＜p＜1).