2023届高考数学二轮复习专题六第1讲函数的图象与性质学案

这是一份2023届高考数学二轮复习专题六第1讲函数的图象与性质学案，共15页。学案主要包含了素养提升，二级结论等内容，欢迎下载使用。

专题六　函数与导数
第1讲　函数的图象与性质

考情分析
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上．
2．此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题．

自主先热身　真题定乾坤
ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身
1．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　B　)
A．f(x－1)－1　　 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1　　 D．f(x＋1)＋1
【解析】　方法一：因为f(x)＝＝＝－1＋，
所以函数f(x)的对称中心为(－1，－1)，
所以将函数f(x)向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数y＝f(x－1)＋1，该函数的对称中心为(0，0)，
故函数y＝f(x－1)＋1为奇函数．故选B.
方法二：直接代入验证f(x－1)＋1＝为奇函数，满足条件．
2．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　D　)
A．－　　 B．－　　
C．　　 D．
【解析】　∵f(x＋1)为奇函数，
∴f(1)＝0，且f(x＋1)＝－f(－x＋1)，
∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，
∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，
即f(x＋2)＝－f(－x)，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).
令t＝－x，则f(t＋2)＝－f(t)，
∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).
当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.
f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－4a－b，
f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，
又f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得a＝－2，
f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，
∴当x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2，
∴f＝f＝－f＝－＝.故选D.
3．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则(k)＝(　A　)
A．－3　　 B．－2　　
C．0　　 D．1
【解析】　因为f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，
令x＝1，y＝0可得，2f(1)＝f(1)f(0)，
所以f(0)＝2，
令x＝0可得，f(y)＋f(－y)＝2f(y)，
即f(y)＝f(－y)，
所以函数f(x)为偶函数，令y＝1得，
f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，
即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，
从而可知f(x＋2)＝－f(x－1)，
f(x－1)＝－f(x－4)，
故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，
所以函数f(x)的一个周期为6.
因为f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，
f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，
所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.
由于22除以6余4，
所以(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3.故选A.
4．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cosx在区间的图象大致为(　A　)

【解析】　令f(x)＝(3x－3－x)cos x，x∈，
则f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－(3x－3－x)·cos x＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除B、D；
又当x∈时，3x－3－x>0，cos x>0，
所以f(x)>0，排除C.故选A.
5．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　C　)
A．f(－x)＋f(x)＝0　　 B．f(－x)－f(x)＝0
C．f(－x)＋f(x)＝1　　 D．f(－x)－f(x)＝
【解析】　f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B、D错误．故选C.
6．(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝____；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是__3＋__．
【解析】　由已知f＝－＋2＝，
f＝＋－1＝，
所以f＝，
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1 1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b]⊆[－1，2＋]，
所以b－a的最大值为3＋.
7．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝__－__，b＝__ln_2__．
【解析】　因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，
所以x＝＝－1，解得a＝－，
即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，
再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.
即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，
在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意．

感悟高考
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．

核心拔头筹　考点巧突破
HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　
考点一　函数的概念与表示

1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
典例1 (1)(2021·广东高三模拟)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B等于(　C　)
A．(1，4)　　 B．(1，4]
C．[－4，1)　　 D．(－4，1)
【解析】　函数y＝的定义域为{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，
函数y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，则B＝{x|x<1}，
所以A∩B＝{x|－4≤x<1}，故选C.
(2)已知函数f(x)＝则f(2022)＝(　D　)
A．　　 B．　　
C．0　　 D．1
【解析】∵函数f(x)＝，
∴x＞1时，f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，
∴f(2 022)＝f(2)＝2－f(0)＝2－20＝1，
故选D.
【素养提升】(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．

1．(1)已知实数a<0，函数f(x)＝若f(1－a)≥f(1＋a)，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，－2]　　 B．[－2，－1]
C．[－1，0)　　 D．(－∞，0)
(2)(2020·江苏省扬州市调研)设函数f(x)＝则f(f(e-2))＝__16__．
【解析】(1)当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；
f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，
由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，
解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1].
(2)∵e-2>0，
∴f(e-2)＝2ln e-2＝－4<0，
则f(f(e-2))＝f(－4)＝＝16.
考点二　函数的性质

1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x).
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心或对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
考向1　单调性与奇偶性
典例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　D　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)　　 B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)　　 D．[－1，0]∪[1，3]
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
(2)(2022·广东汕头市模拟)若函数f(x)＝x(2x－2－x)，设a＝，b＝log4，c＝log5，则下列选项正确的是(　A　)
A．f(a)＜f(b)＜f(c)　　 B．f(a)＜f(c)＜f(b)
C．f(b)＜f(a)＜f(c)　　 D．f(c)＜f(a)＜f(b)
【解析】　由题可知f(x)＝x(2x－2－x)，(x∈R)，
∴f(－x)＝－x(2－x－2x)＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，
由f(x)＝x(2x－2－x)＝x，
知当x＞0时，f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，
又b＝log4＝－log4 3，
∴f(b)＝f(－log4 3)＝f(log4 3)，
同理，f(c)＝f(log5 4)，
又f(c)＝f(log5 4)，
又＝log4 2 ∴＝＝≥＝＝＞1，
∴ ∴f(a)＜f(b)＜f(c).
故选A.
考向2　奇偶性与周期性
典例3 (1)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　D　)
A．减函数且f(x)>0　　 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0　　 D．增函数且f(x)<0
【解析】当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2021)＋f(2019)的值为(　A　)
A．0　　 B．－4　　
C．－2　　 D．2
【解析】　当x≥0时，f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．
所以f(－2 021)＝f(2 021)＝f(1)＝log2 2＝1，
f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，
所以f(－2 021)＋f(2 019)＝0.故选A.
【二级结论】(1)若函数f(x)为偶函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则2a是函数f(x)的一个周期．
(2)若函数f(x)为奇函数，且f(a＋x)＝f(a－x)，则4a是函数f(x)的一个周期．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，则2(b－a)是函数f(x)的一个周期．

2．(1)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，f(－2)＝1，且当x＞0时，f(x)＝a－|x－1|，则f(5)＝(　B　)
A．－6　　 B．－4　　
C．－3　　 D．0
(2)关于函数f(x)＝x＋sinx，下列说法错误的是(　B　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)有零点
D．f(x)在上单调递增
【解析】(1)依题意，得f(2)＝－f(－2)＝－1，
故a－|2－1|＝－1，解得a＝0，
∴f(5)＝－|5－1|＝－4，
故选B.
(2)由题可知函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x－sin x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故A正确；根据周期函数的定义，可知f(x)一定不是周期函数，故B错误；因为f(0)＝0＋sin 0＝0，所以f(x)有零点，故C正确；对f(x)求导得f′(x)＝1＋cos x≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故D正确．故选B.
考点三　函数的图象

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
考向1　函数图象的识别
典例4 (1)(2022·长沙模拟)函数f(x)＝·ln|x|的部分图象大致为(　B　)

【解析】由题知x≠0，且f(－x)＝·ln |－x|＝·ln |x|＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数，排除AC，
又因为f(2)＝·ln 2＞0，故排除D，故选B.
(2)(2021·崇明区校级模拟)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为__{x|－1＜x≤1}__．

【解析】　令g(x)＝y＝log2(x＋1)，
作出函数g(x)图象如图．

由得
所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1＜x≤1}．
考向2　函数图象的变换及应用
典例5 (1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　C　)


【解析】要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
(2)已知函数f(x)＝若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，则实数m的取值范围为(　D　)
A．[3－2，3＋2]　　 B．[0，3－2]
C．(3－2，3＋2)　　 D．[0，3＋2]
【解析】由函数的解析式易知f(x)≤0恒成立，则|f(x)|＝不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，
等价于函数y＝|f(x)|的图象在函数y＝mx－2图象的上方恒成立．

作出函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，函数y＝mx－2的图象是过定点(0，－2)的直线，
由图可知，当m<0时，不满足题意；
当m＝0时，满足题意；
当m>0时，考虑直线y＝mx－2与曲线y＝x2＋3x(x>0)相切的情况．
由得x2＋(3－m)x＋2＝0，
令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，
解得m＝3＋2或m＝3－2，
结合图形可知0 综上，m的取值范围是[0，3＋2].
【素养提升】(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．

3．(1)(2022·河南模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　A　)

(2)已知函数f(x)＝若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取值范围是(　D　)
A．(0，＋∞)
B．[－3，0]
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
【解析】(1)由题可得函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数，故排除B、D；f＝＝－<0，故C错误，故选A.
(2)根据题意，函数f(x)＝的图象如图，

直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图象在直线y＝ax－1下方有图象或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图象恒在y＝ax－1图象的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四象限，与函数f(x)的图象必有交点，符合题意；
当a<0时，直线y＝ax－1经过第二、三、四象限，若直线y＝ax－1与f(x)有交点，必然相交于第二象限．由
即ax－1＝x2－x，变形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，
令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，则有a≤－3，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞).