第五章 5.5.2 课后课时精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若－2π<α<－，则 的值是(　　)

A．sin   B．cos

C．－sin   D．－cos

答案　D

解析　 ＝＝＝，

∵－2π<α<－，∴－π<<－.

∴cos<0，∴＝－cos.

2．函数y＝2cos2－1是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

答案　A

解析　y＝2cos2－1＝cos

＝cos＝cos＝sin2x，

而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝＝π，故选A.

3．化简2＋2sin2得(　　)

A．2＋sinα   B．2＋sin

C．2   D．2＋sin

答案　C

解析　原式＝1＋2sincos＋1－cos＝2＋sinα－cos＝2＋sinα－sinα＝2.

4．已知sinα＋cosα＝，则2cos2－1＝(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　∵sinα＋cosα＝，平方可得1＋sin2α＝，可得sin2α＝－.

2cos2－1＝cos＝sin2α＝－.

5．已知sin＝，cos2α＝，则tan＝(　　)

A．3  B．－3  C．±3  D．±4

答案　A

解析　由sin＝⇒sinα－cosα＝　①，cos2α＝⇒cos2α－sin2α＝，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝　②，由①②可得cosα＋sinα＝－　③，由①③得sinα＝，cosα＝－，所以角α为第二象限角，所以为第一、三象限角，tan＝＝＝3，故选A.

二、填空题

6．若α－β＝，则sinαsinβ的最大值为________．

答案　

解析　α＝β＋，则sinαsinβ＝sinsinβ

＝－

＝－cos＋

∴最大值为.

7．设α为第四象限角，且＝，则tan2α＝________.

答案　－

解析　＝

＝＝2cos2α＋1＝，所以cos2α＝.又α是第四象限角，所以sin2α＝－，tan2α＝－.

8.＋2的化简结果是________．

答案　－2sin4

解析　原式＝＋2

＝2|cos4|＋2

＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.

因为<4<，所以sin4<cos4<0，

所以sin4－cos4<0.

从而原式＝－2cos4－2sin4＋2cos4＝－2sin4.

三、解答题

9．化简：cosα ＋sinα，π<α<.

解　原式＝cosα＋sinα

＝cosα·＋sinα·，

因为π<α<，所以cosα<0，sinα<0.

所以原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2.

10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．

解　(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋cos4x

＝cos2xsin2x＋cos4x

＝(sin4x＋cos4x)＝sin，

所以f(x)的最小正周期T＝＝，

当4x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z时，f(x)取最大值为.

(2)因为f(α)＝，所以sin＝1，

因为α∈，所以4α＋∈，

所以4α＋＝，故α＝.

B级：“四能”提升训练

1．已知cos2θ＝，＜θ＜π.

(1)求tanθ的值；

(2)求的值．

解　(1)因为cos2θ＝，

所以＝，

所以＝，

解得tanθ＝±，

因为＜θ＜π，所以tanθ＝－.

(2)＝，

因为＜θ＜π，tanθ＝－，

所以sinθ＝，cosθ＝－，

所以＝＝＝－4.

2．如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在S上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．

解　如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.

所以PQ＝MB＝100－90cosθ，

PR＝MR－MP＝100－90sinθ.

所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)

＋8100sinθcosθ.

令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤)，

则sinθcosθ＝.

所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·＝2＋950.

故当t＝时，S矩形PQCR有最小值950 m2；

当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14050－9000) m2.