第七章 复数【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版2019）
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第七章 复数
考点一 复数的有关概念
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
一．选择题
1．设是虚数单位，复数的虚部是
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】复数的虚部是．
故选A．
2．设复数，且，则的虚部为
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】，，，
，，
解得．
则的虚部为．
故选A．
3．若，则
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】，，则，，
，
故选D．
4．已知复数，则下列说法正确的是
A．复数的实部为3
B．复数的虚部为
C．复数的共轭复数为
D．复数的模为1
【答案】C
【解析】，
的实部为，虚部为，
的共轭复数为，模为，
故选C．
5．已知为虚数单位，，则复数的虚部为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】，
则复数的虚部为，
故选D．
6．若，则实数的值为
A．1 B．0或2 C．2 D．0
【答案】D
【解析】，
，，解得．
故选D．
7．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为
A．4 B． C．6 D．或6
【答案】B
【解析】由题意可得，即，根据两个复数相等的充要条件可得
，解得，
故选B．
8．已知为虚数单位，则等于
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
．
故选D．
二．填空题
9．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数 ．
【答案】
【解析】复数是纯虚数，
，，
解得．
故答案为：．
10．已知，，为虚数单位，且，则 ．
【答案】4
【解析】，
，
解得，，
，
故答案为：4．
三．解答题
11．为何实数时，复数是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
【答案】（1）或2; （2）且;（3）．
【解析】复数，
（1）实数；可得，解得或2．
（2）虚数；可得，解得且．
（3）纯虚数可得：并且，解得．
12．设复数，其中，当取何值时：
（1）？
（2）是纯虚数？
（3）是零？
【答案】（1）或; （2）;（3）．
【解析】（1）当，即或时，．
（2）当，即时，是纯虚数．
（3）当，即时，是零．
考点二 复数的几何意义
判断复数在平面内的点的位置的方法
首先将复数化成a＋bi(a，b∈R)的形式，其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限．
一．选择题
1．已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，
故在复平面内对应的点位于第二象限，
故选B．
2．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由．
得复数对应的点为．
在复平面内，复数对应的点位于第二象限．
故选B．
3．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，复数对应的点的坐标为，显然位于第一象限，
故选A．
4．若复数满足，则复数所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由，得
，
．
复数所对应的点的坐标为，位于第二象限．
故选B．
5．已知复数，则下列命题中正确的个数为
①；②；③的虚部为；④在复平面上对应点在第一象限．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①复数，则．故①正确；
②，故②正确；
③的虚部为1，故③错误；
④在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故④正确．
命题中正确的个数为3．
故选C．
6．复数在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，
故复数在复平面上对应的点位于第四象限，
故选D．
7．已知复数满足为虚数单位），则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由，得
．
在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．
故选A．
8．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数在复平面内对应的点在第二象限，
，解得．
则实数的取值范围是．
故选B．
二．填空题
9．已知，则复数在复平面上对应的点位于第 象限．
【答案】一
【解析】，，
此复数对应的点的坐标为，，在第一象限，
故答案为：一．
10．复数在复平面上对应的点在第 象限．
【答案】二
【解析】
又，
故复数在复平面上对应的点在第二象限
故答案为：二
三．解答题
11．已知复数，则当为何实数时，复数是
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零；（5）对应的点在第三象限．
【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）；（5）．
【解析】由，
（1）当，即或时，为实数；
（2）当，即且时，为虚数；
（3）当，且，即时，为纯虚数；
（4）当，且，即时，；
（5）由，
解①得，．
解②得，．
．
即当时，对应的点在第三象限．
12．设复数，试求实数的取值，使得（1）是纯虚数；（2）对应的点位于复平面的第二象限．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0
由，得．
（2）当复数对应的点在第二象限时，
由，
得．
考点三 复数的代数运算
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
(3)利用复数相等求参数．a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
一．选择题
1．已知复数，，，则
A．2 B． C．4 D．6
【答案】D
【解析】，，
则，，故．
故选D．
2．已知为虚数单位，，则
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】，
，
故，
故选D．
3．复数满足，则的虚部等于
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】复数满足，
，
的虚部为．
故选B．
4．已知复数，则的虚部为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数，
则，所以的虚部为．
故选A．
5．已知复数，则
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【解析】，，
则．
故选D．
6．复数的虚部是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以复数的虚部是，
故选C．
7．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数满足（其中为虚数单位），
，
．
复数的虚部为．
故选B．
8．已知为虚数单位，复数满足，则的共轭复数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
得，
，
故选C．
二．填空题
9．已知复数是虚数单位），则的共轭复数为 ．
【答案】
【解析】，
．
故答案为：．
10．设，则 ．
【答案】1
【解析】，
．
故答案为：1．
三．解答题
11．若复数满足．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得．
（2）．
12．已知复数，．
（1）求；
（2）若复数满足为实数，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
；
（2），
，
又为实数，
，得．
，则．
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