人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品测试题

专题12 双曲线

一、单选题

1．（2019·浙江省高三期中）双曲线的焦点坐标为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由可得，焦点在轴上，所以，因此

所以焦点坐标为；

故选B

2．（2020·安徽省高三三模（文））已知双曲线的离心率为2，则实数的值为(    )

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】C

【解析】

因为双曲线的离心率为2，所以，解得.

故选：C.

3．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））下列双曲线中，渐近线方程为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

C. ，渐近线为：；D. ，渐近线为：；

故选：.

4．（2020·安徽省高三三模（理））已知双曲线离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

因为，所以，

由双曲线的几何性质可得渐近线方程为：，

故选：C

5．（2019·安徽省高二期末（理））已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

由题知：，，.

到直线的距离.

故选：A

6．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】

由，可知，则，

因为双曲线的渐近线为，所以，，故为正三角形，且，

所以为的中位线，为线段的中点，即，故.

故选：C.

7．（2020·天津高三一模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

将双曲线的标准方程表示为，

由于该双曲线的渐近线方程为，则，

因此，该双曲线的离心率为.

故选：A. 

8．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

渐近线方程为,设双曲线方程为,

将的坐标代入方程得,,求得

则该双曲线的方程为.

故选:C.

9．（2019·天津高三三模（文））双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（  ）．

A．2 B． C．4 D．

=【答案】C

【解析】

设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．

10．（2020·安徽省高三月考（文））已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可得e，

即ca，即有ba，

设双曲线的一条渐近线方程为yx，即为y＝x，

圆的圆心为（3，0），半径r＝3，

即有圆心到渐近线的距离为d，

可得截得的弦长为22．

故选：D．

二、多选题

11．（2020·山东省胶州市第一中学高三一模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是(     )

A．离心率为 B．双曲线过点

C．渐近线方程为 D．实轴长为4

【答案】ABC

【解析】

由题意，可得：焦点在轴上，且；

A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；

B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；

C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，

所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；

D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；

故选：ABC.

12．（2020·湖南省衡阳市一中高二期末）已知双曲线，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若    ，则有（    ）

A．渐近线方程为 B．

C． D．渐近线方程为

【答案】AC

【解析】

双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．

若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，

可得：，即，故e．且，故渐近线方程为渐近线方程为

故选：AC．

13．（2020·高密市第一中学高三月考）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ）

A．点的横坐标为

B．的周长为

C．小于

D．的内切圆半径为

【答案】ABC

【解析】

设的内心为，连接，

双曲线：中的，，，

不妨设，，，

由的面积为20，可得，即，

由，可得，故A符合题意；

由，且，，

可得，，

则，

则，故C符合题意；

由，

则的周长为，故B符合题意；

设的内切圆半径为，可得，

可得，解得，故D不符合题意．

故选：ABC．

三、填空题

14．（2018·民勤县第一中学高二期末（文））双曲线的渐近线方程为               

【答案】

【解析】

由双曲线方程可知渐近线方程为

15．（2020·天水市第一中学高二月考（文））以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．

【答案】

【解析】

由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，

所以椭圆的顶点为，焦点为，

因为，所以椭圆的方程为，

故答案为。

16．（2020·天水市第一中学高二月考）已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.

【答案】2

【解析】

据题设分析知，，所以，得，

所以双曲线的离心率.

17．（2020·山东省高三一模）过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______.

【答案】，       

【解析】

过点的直线与直线垂直，

直线的方程为，

双曲线的两条渐近线方程为，

将两个方程联立，可得，，

的中点坐标为，

点满足，

点在线段的中垂线上，即

，

，

则，，

渐近线方程为，离心率为.

故答案为：，.

四、解答题

18．（2020·定远县育才学校高二月考（文））双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的离心率及渐近线方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意知双曲线焦点为.

可设双曲线方程为，点在曲线上，代入得或（舍），

∴双曲线的方程为.

（2）由（1）得，，∴双曲线的离心率.

渐近线方程：.

19．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知双曲线E过点，且双曲线E的焦点与椭圆C的焦点重合，求双曲线E的标准方程.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由题意知，，

所以，，所以

又因为双曲线E的焦点在x轴上，所以椭圆C的方程为

（2）双曲线E的标准方程为

由题可知双曲线E的焦点坐标为，，所以

又双曲线E过点，所以，解得，

所以双曲线E的标准方程为

20．（2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，

（1）求双曲线的离心率和渐近线；

（2）求|AB|.

【答案】（1），（2）|AB=8|

【解析】

（1）因为双曲线方程为,所以,则,

所以,渐近线方程为

（2）由（1）,右焦点为,则设直线为,

代入双曲线中,化简可得,

所以,,

所以

21.（2019·宁波中学高二期中）已知三点，，.

（1）若椭圆过两点，且为其一焦点，求另一焦点的轨迹方程；

（2）直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，求点的轨迹方程.

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）设另一个焦点，则由椭圆定义知：，

，，

，说明P是以A、B为焦点的双曲线的左支，其中，所以焦点的轨迹方程为;

（2）设，则，

，化简得，

所以点的轨迹方程为.

22．（2019·安徽省高二期中（理））已知双曲线C：(a＞0，b＞0)与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

由已知椭圆方程求出其焦点坐标，可得双曲线C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，

由双曲线定义，即，

所以，，所以所求双曲线的标准方程为．

（2）设，，

因为A，B在双曲线上，所以，

①－②得，

所以，，

故弦AB所在直线的方程为，即．

23．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由，得，又，

∴，

∴双曲线的方程为.

（2）设直线的方程为，，

由，得，

∴，得，

∴弦长，解得，

∴直线的方程为或.

点睛：主要考察了双曲线的基本问题，属于基础题型，尤其对于第二问，根据弦长公式求直线方程时，设直线方程，根据弦长公式，或是，这样根据直线方程与圆锥曲线方程联立，可以求参数.