人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列精品精练

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4.2.1 等差数列的概念 考点一 判断是否为等差数列【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（    ）A．1，4，7，10 B．C． D．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足（常数），所以是等差数列；B中，（常数），所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足（常数），所以是等差数列.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山西应县一中期末（理））若是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是(   )A． B． C． D．【答案】C【解析】A: =（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:== 与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（    ）①  4，5，6，7，8，…            ② 3，0，-3，0，-6，…③ 0，0，0，0，…                ④ …A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为的等差数列.第四个是公差为的等差数列.故有个等差数列，所以选C.3．（2020·全国课时练习）已知数列，c为常数，那么下列说法正确的是（ ）A．若是等差数列时，不一定是等差数列B．若不是等差数列时，一定不是等差数列C．若是等差数列时，一定是等差数列D．若不是等差数列时，一定不是等差数列【答案】D【解析】当是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；对于数列：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；当c为0时， 0，0，0，0是等差数列，但不是等差数列，C错．故选D．考点二 求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（    ）A．9 B．10 C．11 D．12（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列中，若，，则（    ）A． B． C．0 D．【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为，，所以，所以，解得故选：A（2）因为是等差数列，所以，，解得：，故选：C 【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列中，，，则（    ）A．2 B．5C．11 D．13【答案】A【解析】因为，得①，又，得②，由①②得：，故.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列中，=2，，则的值为（    ）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【解析】因为=2，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：D3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列中，，，那么这个数列的通项公式是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，则.故选：B考点三 等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知，则a,b的等差中项为（  ）A． B． C． D．（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知，并且成等差数列，则的最小值为_________.【答案】（1）A（2）16【解析】（1），，的等差中项为，故选A.（2）由题可得：，故【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列中，若，则___________．【答案】60；【解析】在等差数列中，，，解得，．故答案为：602．（2020·全国其他（理））已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】设的公差为.数列为等差数列，，且与的等差中项为6，，解得，，．故选：D．3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______  ．【答案】【解析】依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为： 考点四 证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见证明；(2) a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知，在数列中，，。（1）证明：是等差数列。（2）求的值。【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：当时，因为，所以，即。易知，所以，即。所以是首项为，公差为的等差数列。（2）由（1）知，所以，所以。2．（2019·全国课时练习）已知数列中，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项．【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．【解析】（1）因为，，所以又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，则．设，则在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．故数列中的最小项为且，最大项为且．3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1) 见证明；(2) an＝.【解析】(1)证明：，∴，即bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)∵b1＝1，∴∴an＝.考点五 等差数列的单调性【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设是等差数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在是等差数列，若，可得，所以数列是递增数列，即充分性成立；若数列是递增数列，则必有，即必要性成立，所以“”是“数列是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（    ）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D．2．（2020·北京怀柔·高二期末）已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】利用等差数列的单调性可得：若，所以公差，所以等差数列是递增数列，所以，成立，∴A，B正确；则不一定成立，例如时不一定成立，∴D不一定成立；若，则，所以成立，∴C正确.故选：D3．（2020·上海市实验学校高三月考）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.【答案】【解析】∵等差数列是递增数列，且，∴又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.