高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀练习题

4.2.1 等差数列的概念（1）  -B提高练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）在等差数列中，，则（    ）

A．0 B．1 C． D．3

【答案】A

【详解】设等差数列公差为,由得：，即   

,故选：

2．（2020·河北保定市高碑店一中高二月考）已知数列中，，，若为等差数列，则（    ）

A．0 B． C． D．2

【答案】A

【详解】因为，，，故

所以，故.故选：A.

3．（2021·全国高二课时练习）已知数列是等差数列，且.若，则数列是（    ）.

A．以3为首项，3为公差的等差数列

B．以6为首项，3为公差的等差数列

C．以3为首项，6为公差的等差数列

D．以6为首项，6为公差的等差数列

【答案】D

【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.

4．（2020·西安交大苏州附中高二期中）我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（    ）

A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5

【答案】C

【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为，

则，，两式相减得，解得，

所以，解得，故选：C

5．（多选题）（2021·全国高二课时练）给出下列命题,正确命题的是（    ）

A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；

B.数列是公差为的等差数列；

C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；

D.数列是等差数列.

【答案】BCD

【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A错误；

对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B正确；

对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以C正确；对于D，因为，所以数列是等差数列.

6. （多选题）（2020·福建三明高二期中）设d为正项等差数列的公差，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；

，C正确；

，所以，D错误.

二、填空题

7．（2021·全国高二课时练）三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.

【答案】

【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得，可得，则.

8．（2020·山东泰安实验中学高二月考）在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.

【答案】30

【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数.

9．（2021·全国高二课时练）在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.

【答案】

【详解】∵，∴数列是等差数列，

又，∴，∴．

10．（2021·全国高一课时练）已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是 __________.

【答案】

【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，

所以有.

三、解答题

11．（2020·山西师大附中高二期中）首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：

①；

②满足的的最小值是15.

试求公差和首项的值.

【详解】，

，

由，即，

∵满足的的最小值是15，

，

，

又.

12．（2020·湖北黄石高二月考）设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．

【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，

即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．

(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.

又，解得n＝11.

所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．