高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀课后测评

4.3.2等比数列的前n项和公式   (1)    -B提高练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）在数列中，，，记的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】∵，∴，又，∴数列是以1为首项，为比的等比数列，∴，∴.故选：D.

2．（2021·山东烟台市高二期末）衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（    ）

A．30 B．62 C．64 D．126

【答案】D

【详解】由题意得：，所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：

，故选：D

3．（2021·山西师大附中高二期末）已知数列、满足，，，则数列的前项和为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，∴数列是等差数列，且公差是，是等比数列，且公比是，又∵，∴，，∴，

设，∴，数列是等比数列，且公比为，首项为，

由等比数列的前项和的公式得：其前项的和为.故选：C.

4．（2020·江西吉安市高二期末）已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】已知函数，定义域为.

若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；若选③，则，，是常数，

则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.故选：D.

5．（多选题）（2021·山东德州市高二期末）已知等比数列公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ）

A．为单调递增数列 B． 

C．，，成等比数列 D．

【答案】BD

【详解】由，可得，则，当首项时，可得为单调递减数列，故错误；由，故正确；假设，，成等比数列，可得，

即不成立，显然，，不成等比数列，故错误；

由公比为的等比数列，可得

，故正确；故选：．

6. （多选题）（2021·莆田第二十五中学高二期末）在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为2的等差数列

【答案】ABC

【详解】为递增的等比数列，由得

解得或∵为递增数列，∴∴，，

故选项正确；∴，，∴，，

∴数列是等比数列，故选项正确；所以,则，故选项正确.又，∴数列是公差为的等差数列，故选项错误.故选：ABC.

二、填空题

7．（2021·河南郑州市高二期末）已知数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，则其前项和________.

【答案】31

【详解】由，解得或，∵数列为递增等比数列，是关于的方程的两个实数根，∴，∴公比．

∴其前5项和．

8．（2021·河南新乡市高二期末）已知等比数列的前项和为，若，，则数列的公比_______.

【答案】

【详解】由已知，

则，解得．

9．（2021·河南许昌高中高二期末）以为首项､以为公比的等比数列满足，，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】由题意得，可得，所以，

所以，即.

10．（2021·安徽铜陵高二期末）对于数列，定义数列为数列的“差数列”，若，的“差数列”的通项公式为，数列的前项和为，则的最大值为________．

【答案】

【详解】由题意得，则，，，．．．．．．，，将以上各式相加，得，

∴，也适合，，．

则的最大值为．

三、解答题

11．（2021·山东枣庄市·高二期末）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，，再从①；②；③这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【详解】解：选择条件①和条件②

（1）设等差数列的公差为，∴

解得：，.∴，.

（2）设等比数列的公比为，，

∴解得，.

设数列的前项和为，∴.

选择条件①和条件③：

（1）设等差数列的公差为，∴

解得：，.∴.

（2），设等比数列的公比为，.

∴，解得，.

设数列的前项和为，∴.

选择条件②和条件③：

（1）设等比数列的公比为，，

∴，解得，，.

设等差数列的公差为，∴，又，故.

∴.

（2）设数列的前项和为，

由（1）可知.

12．（2021·山东泰安市高二期末）已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．

【详解】解：设的公比为，．

（1）由整理得，解得或（舍去）．

∴，∴，．

（2），∴．

∴，，

∴

．

∴．