高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列优秀练习

4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) -A基础练

一、选择题

1．（2021·吉林长春市实验中学高二期末）如图，已知面积为4，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2020个三角形面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】观察图形可知后一个三角形的面积是前一个的，设第n个三角形的面积为，

则数列是首项为，公比为的等比数列，，

第2020个三角形面积为.故选：B.

2．（2021·河南洛阳高二期末月考）在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，…….R0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（    ）参考数据：lg38≈1.58

A．34 B．35 C．36 D．37

【答案】D

【详解】设第轮感染人数为，则数列为等比数列，其中，公比为，

所以，解得，

而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为．

3．（2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末）数列的通项公式，则数列的前5项和等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以则数列的前5项和.

4．（2021·陕西咸阳市高二期末）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（    ）

A．93万元 B．45万元 C．189万元 D．96万元

【答案】A

【详解】设第一到第五实验室的设备费用分别为；则由题意成等比数列，设公比为，且，；，解得或（舍）；由得.所以.

5．（多选题）（2021·辽宁铁岭市高二期末）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是（    ）

A．此人第六天只走了5里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

【答案】BCD

【详解】解：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，

设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列．

所以，解得．

选项A：，故A错误，

选项B：由，则，又，故B正确．

选项C：，而，，故C正确．

选项D：，

则后3天走的路程为，而且，D正确．故选：BCD．

6．（多选题）（2021·江苏镇江市高二期末）计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（    ）

A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列

【答案】ABC

【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，由可得，两式相减得：，

所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，

所以，在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；

经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为，

所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC

二、填空题

7．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）某同学让一弹性球从128米高处下落，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第8次着地时球所运动的路程的和为________ m.

【答案】382

【详解】记第次落地到第次落地之间球运动的路程为，则是首项米，公比为的等比数列，所以第8次着地时球所运动的路程的和为

米.

8．（2021·山东青岛市高二期末）《莱茵德纸草书》（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为________ .

【答案】3

【详解】设等比数列为，其公比为，由题意知，，可得，因为，所以，解得或（舍去），

当时，可得，解得.

9．（2021·安徽马鞍山市高二期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则实数的值为_____

【答案】

【详解】当时，，两式相减得，

即，并且数列是等比数列，所以，

，，当时，，

解得.

10．（2021·河北邢台市高二期末）已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（    ）

【答案】12

【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，所以，则，

要使，则，解得，故n的最大值为12.

三、解答题

11．（2021·上海徐汇区位育中学高二期末）有一个细胞集团最初有细胞10个，每小时内先消亡3个，余下的每个再分裂成2个，设小时后细胞个数为.

（1）求出、，并写出与的递推公式；

（2）求出数列的通项公式，问：至少多少小时后细胞个数超过10000个？

【详解】

（1）由题意，，；

（2）由（1），所以，，所以数列是等比数列，公比为，，

由，由于，所以，，

所以至少12个小时后细胞个数超过10000个．

12．（2021·湖北恩施高二期末）某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20％，但每年年底要扣除万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产．

（1）以第2019年为第一年，设第年初有资金万元，用和表示，并证明数列为等比数列；

（2）为实现2029年初资金翻再现两番的目标，求的最大值（精确到万元）．

（参考数据：，，）

【详解】

（1）依题意，，整理得：，

，又，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）知，，

∴2029年初资金翻再现两番

∴，解得，

所以的最大值是84．