6．2　平面向量的运算

[A　基础达标]

1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.

2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B.＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.

3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km ”，则向量a＋b表示(　　)

A．向东北方向航行2 km

B．向北偏东30°方向航行2 km

C．向北偏东60°方向航行2 km

D．向东北方向航行(1＋)km

解析：选B.如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B.

4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)

A．1   B．2

C．3   D．2

解析：选B.由正六边形知＝，

所以＋＋＝＋＋＝，

所以|＋＋|＝||＝2.故选B.

5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是(　　)

A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向

B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向

C．若a与b同向，则a＋b与a同向

D．若a与b同向，则a＋b与b同向

解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．

6．化简(＋)＋(＋)＋＝________．

解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.

答案：

7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________．

解析：在菱形ABCD中，连接BD，

因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，

又因为||＝1，所以||＝1，

所以|＋|＝||＝1.

答案：1

8．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，给出下列结论：

①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.

其中正确的是________．

解析：因为在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．

答案：①③

9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：

(1)＝；

(2)＝且||＝||.

解：(1)因为＝，所以AD∥BC，AD＝BC，

所以四边形ABCD是平行四边形．

(2)因为＝且||＝||，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．

10．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.

解：如图，因为||＝||＝3，

所以四边形OACB为菱形，

连接OC，AB，则OC⊥AB，

设垂足为D.

因为∠AOB＝60°，

所以AB＝||＝3.

所以在Rt△BDC中，CD＝.

所以||＝|a＋b|＝×2＝3.

 [B　能力提升]

11．已知有向线段，不平行，则(　　)

A．|＋|>||

B．|＋|≥||

C．|＋|≥||＋||

D．|＋|<||＋||

解析：选D.由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|<||＋||.

12．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝______.

解析：因为＋＝，则四边形APBC是平行四边形．

又P为△ABC的外心，

所以||＝||＝||.

因此∠ACB＝120°.

答案：120°

13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．

①|＋|＝||；

②|＋|＝||；

③||2＋||2＝||2.

解析：①正确．以AB，AC为邻边作▱ABDC，又∠A＝90°，

所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，

所以|＋|＝||＝||.　

②正确．|＋|＝||＝||.

③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.　

答案：①②③

14．如图，已知向量a，b，c，d.

(1)求作a＋b＋c＋d；

(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．

解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.

(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，

因为e为单位向量，

所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，

由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，

||即|a＋e|最大，最大值是3.

[C　拓展探究]

15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？

解：如图，作▱OACB，

使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，

则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.

设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300 N.

所以||＝||cos 30°＝150 (N)，

||＝||cos 60°＝150(N)．

所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.