6．4　平面向量的应用

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6．4　平面向量的应用
6．4.1　平面几何中的向量方法
6．4.2　向量在物理中的应用举例

考点
学习目标
核心素养
向量在平面几何中的应用
会用向量方法解决平面几何中的平行、
垂直、长度、夹角等问题
数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用
会用向量方法解决物理中的速度、力学问题
数学建模、数学运算

问题导学
预习教材P38－P41的内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．　(　　)
(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　　)
(3)若向量∥，则AB∥CD.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
若向量＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0，5)　　　　　　　　 B．(4，－1)
C．2 D．5
解析：选D.F1＋F2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F1＋F2|＝5.
力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，得∥，≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形


向量在几何中的应用
角度一　平面几何中的垂直问题
　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
角度二　平面几何中的平行(或共线)问题
　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋
＝(m＋n)－m＝m＋n.
所以＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三　平面几何中的长度问题
　如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝.

用向量方法解决平面几何问题的步骤
　
　已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　)
A．梯形　　　　　　　　 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选A.＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．

向量在物理中的应用
　(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
(2)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
【解】　(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5.
||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
因为＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．
所以W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”
　
　已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5 N　　　　　　　 B．5 N
C．10 N D．5 N
解析：选B.画出图形，如图，由题意|F1＋F2|＝10 N，所以|F1|＝|F1＋F2|cos 60°＝5 N，故选B.


1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s　　　　　　　 B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2(m/s)．
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
解析：选D.由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB.
证明：设＝λ(λ＞0且λ≠1)，因为＝－＝＋－＝＋(－)
＝＋[(－)－(＋)]
＝＋(－)
＝(＋)＝(－λ＋1)，
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB.
[A　基础达标]
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形　　　　　　　　　 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D.
2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则(　　)
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
解析：选A.物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N.
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为＝－＝－，
所以2＝＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
5．在△ABC中，有下列四个命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有(　　)
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：选C.因为－＝＝－≠，所以①错误.＋＋＝＋＝－＝0，所以②正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC为等腰三角形，③正确.·>0⇒cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为______N.

解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．　
解析：由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
因为||＝||，所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
因为＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，
所以·＝－x(2－x)－(y－1)
＝x2－2x－y＋1
＝x2－x＋1
＝＋，
所以当x＝时，·取得最小值，为.
答案：
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：以C为原点，方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，
D，C(0，0)，E.
因为＝，＝.
所以·＝－a·a＋·a＝0，所以⊥，即AD⊥CE.
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
【解】　(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
所以||2＝2＝＝a2＋2·a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
因为cos θ＝＝＝＝＝0，
所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.
[B　能力提升]
11．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选B.设AB的长为a(a>0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1.
又因为a>0，所以a＝，即AB的长为.
12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
解析：由题意得，5＝＋2，
2－2＝－－2，
－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，
则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2＝4，
所以＝＝＝.
答案：1∶2
13．如图，已知在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，点M在OB上，且OM＝1，点N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，则∠MPN＝______．

解析：设＝a，＝b，与的夹角为θ，
则＝b，＝a，
又因为＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
所以·＝·＝－5，
又||＝，||＝，所以cos θ＝＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
又因为∠MPN为向量，的夹角，所以∠MPN＝.
答案：
14．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：(1)以A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1)．
因为＝(－1，2)，＝(－2，－1)，
所以·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
因为∥，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.①
同理，由∥，得y＝－2x＋4.②
由①②得x＝，y＝，即P.
所以||2＝＋＝4＝||2，
所以||＝||，即AP＝AB.
[C　拓展探究]
15．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
所以||＝＝2.
又AB＝，所以用时0.5 h.
因为sin∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
所以∠EAD＝30°.
综上所述，船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.