8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系

[A　基础达标]

1．下列说法中正确的是(　　)

A．三点确定一个平面

B．四边形一定是平面图形

C．梯形一定是平面图形

D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点

解析：选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确，故选C.

2．给出以下四个命题：

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0　　　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

解析：选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．

3．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)

A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A

D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合

解析：选C.选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．

4．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则(　　)

A．P一定在直线BD上

B．P一定在直线AC上

C．P在直线AC或BD上

D．P既不在直线BD上，也不在AC上

解析：选B.由题意知GH⊂平面ADC，GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由基本事实3可知点P一定在直线AC上．

5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)

解析：选D.在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.

6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.

答案：∈

7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．

解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．

答案：1或4

8．看图填空：

(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；

(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________．

答案：A1B1　AC

9．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．

解：以AB为其中一边，分别画出来表示平面的平行四边形．如图．

10．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)直线FH，EG，AC共点．

证明：(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.

所以GHBD，

所以EF∥GH，

所以E，F，G，H四点共面．

(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，

因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.

所以GHBD，

所以EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形，

设两腰EG，FH相交于一点T.

因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，

所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，

所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.

[B　能力提升]

11．空间四点A，B，C，D共面但不共线，那么这四点中(　　)

A．必有三点共线   B．必有三点不共线

C．至少有三点共线   D．不可能有三点共线

解析：选B.若AB∥CD，则AB，CD共面，但A，B，C，D任何三点都不共线，故排除A，C；若直线l与直线外一点A在同一平面内，且B，C，D三点在直线l上，所以排除D.故选B.

12．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(　　)

A．点A   B．点B

C．点C，但不过点D   D．点C和点D

解析：选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.

13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)

A．三角形   B．四边形

C．五边形   D．六边形

解析：选C.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C.

14.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．

证明：因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，

所以AB∩CD＝P.

所以AB，CD可确定一个平面，设为β.

因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，

所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.

所以AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．

因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，

所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．

所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．

 [C　拓展探究]

15．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.

所以BD1⊂平面A1BCD1.

同理BD1⊂平面ABC1D1

所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.

又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.

所以Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，

即Q∈BD1，所以B，Q，D1三点共线．