选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用课后练习题

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）-B提高练

一、选择题

1．（2020乐清市知临中学高二期末）已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.

 2．（2020三明三中高二期末（理））如图，在正方体ABCD­中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(    )

A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2)

C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)

【答案】B

【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），

∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）,设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量

则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．

3．（2020北京高二期末）已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的(    )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】,,,即,不一定有∥,也可能

“”是“∥”的不充分条件,∥,可以推出,“”是“∥”是必要条件,综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.故选:B.

4．（2020浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，

设平面的法向量，则，取，得，

设，则，∵平行于平面，∴，整理得，∴线段长度，当且仅当时，线段长度取最小值.故选：B.

5.（多选题）（2020怀仁市一中高二期末）已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量可能是（   ）

A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)

【答案】ABC

【解析】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，

而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．

6．（多选题）（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（    ）

A． B．平面平面

C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为

【答案】CD

【解析】

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，因为，所以与不垂直，故A错误；，,设平面的一个法向量为，则由，得，所以，不妨取，则，所以，同理可得设平面的一个法向量为，故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；在长方体中，平面，故是三棱锥的高，所以，故C正确；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.

二、填空题

7．给出下列命题：①若为共面向量，则所在的直线平行；②若向量所在直线是异面直线，则一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________.

8.（2020上海市青浦区第一中学高二期中）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则________，________．

【答案】1,

【解析】∵α∥β，∴∥，∴存在实数λ使得=λ，即（﹣3，y，2）=λ（6，﹣2，z），

∴，解得λ=﹣，y=1，z=﹣4．

9.在空间直角坐标系中，已知三点，，，若向量与平面垂直，且，则的坐标为________．

【答案】或

【解析】由A，，，可得，

设，根据题意可得，可得，解得或.

所以或.

10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为　　　　　. 

【答案】.

【解析】如图,建立分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系.

设AB=a,P(0,0,b),则A(0,0,0),B1(a,0,1),D(0,1,0),E.于是=(a,0,1),,=(0,-1,b).

∵DP∥平面B1AE,∴存在实数λ,μ,使=λ+μ,即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ=.

∴∴b=λ=,即AP=.

三、解答题

11.已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.

【解析】以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),则M.

又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得=m+n,

即=(ma,mb,nc),即解得

则点P的坐标为.

所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.

12．（2020·银川一中中学高二月考）已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,

求证:平面DEF∥平面ABC.

【解析】如图,

设=a,=b,=c,则=2a,=2b,=2c,

所以=b-a,=c-a,=2b-2a,=2c-2a,

对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),

使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,

因此e与共面,即e∥平面DEF,又l⊄平面DEF,

所以l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.