数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步达标检测题

5.3.1函数的单调性(2)     -A基础练

一、    选择题

1．（2021·江苏高二课时练）函数的单调减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】，，令，解得：或，的单调减区间为.故选：D.

2．（2021·全国高二课时练）下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(　　)

A．            B．－           C．                 D．－或

【答案】D

【解析】∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.故选D

3．（2021·全国高二课时练）已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由题意知，，因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，所以在R上恒成立，故，即．

4．（2021·全国高二课时练）函数的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，

所以舍去C；因此选B.

5．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高二月考）设函数，下列条件中，使得有且仅有一个零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】，求导得，当时，，单调递增，当时，；当时，；由零点存在性定理知，函数有且只有一个零点，故A，C满足题意；当时，令，即，解得，，当变化时，，的变化情况如下表：

故当，函数取得极大值，

当，函数取得极小值

又当时，；当时，；

要使函数有且只有一个零点，作草图

或

则需，即，即，

B选项，，满足上式，故B符合题意；

则需，即，即，

D选项，，不一定满足，故D不符合题意；故选：ABC

6．（多选题）（2021·全国高二课时练）已知为函数的导函数，且，若，方程有且只有一个根，则a的取值可能是（    ）

A．e B．1 C． D．

【答案】ACD

【详解】由，得，，

∴，∴，则，则，

∴，方程，即，

时方程显然无解；时，对于任意，

函数与有一个交点，满足题意；

时，则，令，则．

当时，，当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

又当时，，当时，．

∴在时的图象如图：

由图可知，时，方程有一根，综上，的取值范围为，故选：ACD．

二、    填空题

7．（2021·山西高二期末）函数的单调递减区间为___________．

【答案】

【详解】，令，解得，所以函数的单调递减区间为．

8．（2021·贵州安顺市·高二期末（文））函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.

【答案】

【详解】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于

，则，，故答案为：

9．（2021·全国高二课时练）已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．

【答案】、

【详解】由图象可知，不等式的解集为，

，，由，可得，解得.因此，函数的单调递减区间为、．故答案为：、.

10．（2021·江苏高二）已知函数f（x）＝sinx++lnx，f（1﹣a）＜f（2a），则实数a的取值范围______．

【答案】

【详解】由f（x）＝sinx++lnx，得，

∵当x＞0时，，cosx∈[﹣1，1]，∴当x＞0时，，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴由f（1﹣a）＜f（2a），得，∴，

∴a的取值范围为．

三、    解答题

11．（2021·平罗中学高二期末（文））已知函数.

（1）当时，求曲线在点处切线的方程；

（2）求函数的单调区间.

【详解】

（1）当时，，，切点，

， ，

所以切线方程为，即.

（2），

① ，当，即时， ，函数单调递增；

当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递减；

② ，当，即时， ，函数单调递减；

当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递增；

综上所述，时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；

时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

12．（2021·安徽省舒城中学高二期末）已知.

（1）当时，求的单调区间

（2）若f(x)存在3个零点，求实数a的取值范围.

【详解】

（1）当时，

由，得，由，得，

所以在单调递减，在上单调递增

（2）由函数，

可得有一个零点，

要使得有3个零点，即方程有2个实数根，

又由方程，可化为，

令，即函数与图象 有两个交点，

令，得，

的单调性如表：

所以函数在处取得极小值2e，

当时，，又，的大致图象如图，

由函数与图象有两个交点，根据图象可得

所以要使得有3个零点，则实数的取值范围为