人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用达标测试

5.3.1函数的单调性(2)   -B提高练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）已知函数的单调递减区间为，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题得的解集为，所以不等式的解集为，

所以，故选：B

2．（2020·全国高二课时练习（文））已知函数，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，

又，所以函数是奇函数，

当 时，即，所以，即；

当时，即，所以，即，

所以“”是“”的充要条件.故选：C.

3．（2021·全国高二课时练）若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.故选：D.

5．（多选题）（2020·全国高二课时练）已知函数，若 ，则下列结论正确的是(    )

A．

B．

C．

D．当时， 

【答案】AD

【详解】令，在(0，+∞)上是增函数，∴当时，，

∴ 即；故A正确；令，，

时，，单调递增， 时，，单调递减．

与无法比较大小；故B错误；因为令，，

时，，在单调递减，时，，在单调递增，当时，，， ，．当时，，，，；故C错误；因为时，单调递增，又因为A正确，

故D正确；故选：AD．

6．（多选题）已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．曲线在点处切线的斜率为

D．是偶函数

【答案】AC

【详解】由知函数的定义域为，，

当时，，，

故在单调递增，A正确；

由，当时，，

当，所以只有0一个零点，B错误；

令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确；

由函数的定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误；故选：AC

二、填空题

7．（2021·天津河西区·高二期末）函数的单调递增区间是________.

【答案】

【详解】，，令，即，解得，

的单调递增区间是.

8．（2021·陕西省黄陵县中学高二期末）若函数的单调递减区间为，则_________．

【答案】

【详解】由题意，所以的两根为和3，

所以，所以，．

9．（2021·安徽淮南市高二期末）已知函数．若函数在上单调递减，则实数的最小值为________．

【答案】6

【详解】，，可得，

令，若函数在上单调递减，即

当时，单调增，，

所以函数在上单调递增，，所以.

10．（2021·陕西西安市高二期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为_________.

【答案】

【详解】设，因为，

所以是上的减函数，

因为，所以，

因此.

所以的解集为.故答案为：

三、解答题

11．（2021·安徽省舒城中学高二期末）已知函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围.

【详解】

（1）当时，，定义域为，

，所以函数在点处的切线的斜率为，

又，

所以函数在点处的切线方程为

（2）因为在上是单调增函数，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

因为在上为单调递减函数，所以当时，取得最大值0，

所以.

12．（2021·浙江高二期末）已知函数

（1）若，试求在点处的切线方程；

（2）当时，试求函数的单调增区间；

（3）若在定义域上恒有成立，求实数的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

，，

由切线过点，所以切线方程为，

即切线方程为.

(2) 的定义域为，

，

令，解得，

当即时，恒成立，则函数的单调增区间为，

当即时，时，，函数的单调增区间为，

当即时，时，，则函数的单调增区间为.

综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为.

(3)函数定义域为，

恒成立即恒成立，

当时，必成立，，

令，

则

，

在上，在上，

在单调递减，上单调递增，

，故.