高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2）  -A基础练

一、    选择题

1．（2021·全国高二课时练）在[0，3]上的最大值，最小值分别是（  ）

A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16

【答案】A

【详解】，

∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，也是最小值，，

的最大值、最小值分别为、.故选：A.

2．（2021·河北邯郸高二期末）已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（    ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【详解】函数的定义域为，.

令，得或（舍）.

当时，；当时，.

所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.

因为存在，使得不等式成立，

所以，所以实数m的最小值为1.故选：C

3．（2021·山西师大附中高二期末）函数在内有最小值，则的取值范围为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），

①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，

f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．

综上所述，a的取值范围为（0，1），故答案为B

4．（2021·江苏徐州高二期末）已知函数无零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：因为函数无零点，

所以方程在上无解，即在上无解，

令，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以时，函数有唯一的极小值，也是最小值．

，所以．若无解，则．故选：B．

5．（多选题）（2021·湖南郴州高二期末）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】令上部分的半球半径为，可得，解得，

设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，

可知，，和可构成直角三角形，即，

小圆锥体积．

令，则，

可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大，，即，即ABC三个选项都满足题意．故选：ABC.

6．（多选题）（2021·山东菏泽三中高二期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则函数没有极值

B．若，则函数有极值

C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是

D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是

【答案】ABD

【详解】由题意得，函数的定义域为，且，

当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，

又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，

∴有且只有一个零点，

当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，

当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，

当x趋近于0时，趋近于，趋近于，

当x趋近于时，趋近于，

当，即时，有且只有一个零点；

当，即时，有且仅有两个零点，

综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．

二、    填空题

7．（2021·全国高二课时练）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点．∵函数在区间上有最小值，即为极小值．∴，解得．

8．（2021·福建三明一中高二期末）已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.

【答案】1

【详解】是奇函数，时，的最小值为1，

在上的最大值为，

当时，，

令得，又，，

令，则，在上递增；令，则，

在，上递减，，，得．

9．（2021·全国高二课时练）已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.

【答案】

【详解】对任意都存在使成立，

所以得到，而，所以，

即存在，使，此时，，

所以，因此将问题转化为

存在，使成立，

设，则，，

当，，单调递增，所以，

即，所以，所以实数的取值范围是.

10．（2021·安徽铜陵高二期末）已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.

【答案】

【详解】∵，∴，∴，又点在直线上，∴，

∴，，设，则，

当时，，∴在上单调递增，∴，

∴在上单调递增，，解得或，∴的最大值为.

三、    解答题

11．（2021·安徽省阜阳第一中学高二课时练）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

【解析】（1）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（2）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

12．（2021·海林市朝鲜族中学高二期末）已知函数，.

（1）若在上的最大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

【解析】（1）由，得 ，

令，得或.

函数，在上的变化情况如下表：

，，.

即最大值为，.

（2）由，得.

，，且等号不能同时取得，，即.

恒成立，即.

令，，则.

当时，，，，从而.

在区间上为增函数，，.