高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用达标测试

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2）  -B提高练

一、选择题

1．（2021·全国高二课时练）函数的最小值是（    ）

A． B． C． D．不存在

【答案】C

【详解】由题意得，.

令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.故选：C.

2．（2021·山东泰安实验高中高二期末）已知函数在上的最大值为，则a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由，得，

当时，若，则单调递减，

若，则单调递增，

故当时，函数有最大值，解得，不符合题意.

当时，函数在上单调递减，最大值为，不符合题意.

当时，函数在上单调递减.此时最大值为，

解得，符合题意.故a的值为.故选：A.

3．（2021·广州华南师大附中高二期末）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵ ，.

当时，，在上单调递增，不合题意.

当时，，在上单调递减，也不合题意.

当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.

综上，的取值范围是.

4．（2021·安徽省阜阳第一中学高二期末）设函数，（，为实数），若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】令，

则，若，可得，函数为增函数，当时，，不满足对任意恒成立；

若，由，得，则，

∴当时，，当时，，∴.

若对任意恒成立，则恒成立，若存在实数，使得成立，则，∴，令，则.

∴当时，，当时，，则.

∴.则实数的取值范围是.

5．（多选题）（2021·全国高二专题练）设的最大值为，则（      ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】AB

【详解】对于选项A，当时，在区间上递减，

所以，故选项A正确.

对于选项B，当时，，则，

在区间上递增，即，故选项B正确.

对于选项C，当时，当时，恒成立，

所以，所以，故选项C错误.

对于选项D，当时，，则，

在区间上递增，，故选项D错误.故选：AB.

6．（多选题）（2020·邵东创新实验学校高三月考）对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点

C． D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【详解】由题意，函数，可得，

令，即，解得，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；

由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，

综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；

由函数在上单调递减，可得，

由于，

则，

因为，所以，即，

所以，所以C正确；

由在上恒成立，即在上恒成立，

设，则，

令，即，解得，

所以当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，

所以，所以D正确.故选：ACD.

二、填空题

7．（2021·湖北黄石高二期末）要设计一个容积为的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径_______时，造价最低．

【答案】.

【详解】设圆柱的高为，圆柱底面单位面积造价为，总造价为，

因为储油罐容积为，所以，整理得：，

所以，令，则，

当得：，当得，

所以当时，取最大值，即取得最大值.

8．（2020·东莞市东华高级中学高二月考）若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.

【答案】

【详解】因为且切线垂直于，

所以，所以，所以.

因为，令，所以，

当，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故函数的最小值是，故答案为：.

9．（2021·福建屏东中学高二期末）已知，，若存在实数，满足，则的最大值为______．

【答案】

【详解】解：，且在上单调递增，

∴，．设，则，

当时，；当时，．

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴．

10．（2021·江苏苏州市高二期末）已知函数，若方程恰有两个不同的实数根m，n，则的最大值是_________.

【答案】

【详解】作出函数的图象，如图所示，

由可得，所以，即，

不妨设，则，

令，则，

所以，令，则，

所以当时，；当时，，

当时，取得最大值.

故答案为：.

三、解答题

11．（2021·全国高二课时练）已知函数.

（1）求函数在区间上的最大、最小值；.

（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.

【详解】

（1）由有，

当时，,

在区间上为增函数，

，，

（2）设，

则，

当时，，

且故时，

，得证.

12．（2021·大连24中高二期末）已知函数其中

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）若对于恒成立，求的最大值.

【详解】

（1）当时，函数，可得，则，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）当时，函数，可得，

令，则，所以函数在上单调递增，

又由，

则令，可得，所以函数在上单调递增，

令，可得，所以函数在上单调递减.

综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）由，得在上恒成立，

设，则，

由，解得，（其中），

 随着变化，与的变化情况如下表所示：   

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以函数的最小值为.

由题意得，即 .

设，则.

因为当时，； 当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，.

所以当，，即，时，有最大值为.