备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点02 代数式的运算及应用问题

考点02   代数式的运算及应用问题

考点精讲

类型一：代数式

考点01．代数式及求值

(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；

(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；

(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．

类型二：整式

考点02．整式及有关概念

(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；

(2)多项式：由几个 单项式  组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做 常数项 ；

(3)整式：单项式和多项式统称为整式；

(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．

考点03．整式的运算

1．同底数幂的乘法法则：（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2．幂的乘方法则：（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

幂的乘方法则可以逆用：即 

3．积的乘方法则：（是正整数）。

积的乘方，等于各因数乘方的积。

4．同底数幂的除法法则：（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

5．零指数：任何不等于零的数的零次方等于1。即（a≠0）

6．负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即

( a≠0,p是正整数)。

7．单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

8．单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)。

9．多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

10．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即

11．完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍。即：（a+b）2=a2+b2+2ab

12. 完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍。即：（a-b）2=a2+b2-2ab

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。

13．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

14．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

15．添括号法则：

括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号。

括号前面是—号，放进括号里面的每一项都要变号。

类型三：因式分解

考点04．因式分解

1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2.分解因式的一般方法：

（1）提公共因式法.

（2）运用公式法.

①平方差公式：    

②完全平方公式：

（3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

①对于二次三项式，若存在 ，则

②首项系数不为1的十字相乘法

3.在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：

4.按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.

（4）分组分解法

5.对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

6.分解因式的步骤：

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

7.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止. 

类型四：分式计算

考点05．分式的基本概念

(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．

(2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0 时，分式的值为零.

考点06．分式的性质

(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即＝，＝；(M是不等于零的整式)

(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即＝－＝－＝.

最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．

考点07．分式的运算

(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．

(2)确定最简公分母：

确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．

(3)约分：把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．

(4)分式的运算法则：

①加减法：

同分母加减法：±＝__；

异分母加减法：±＝.

②乘除法：

·＝；　÷＝___．

③乘方：()n＝.

真题解析

例题

1．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．

【详解】

A、(a5)2=a10，故A错，

B、x4⋅x4=x8，故B正确，

C、，故C错，

D、−=-3- ，故D错，

故选：B

【点睛】

本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．

2．（2021·湖北鄂州市·中考真题）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方直接求解即可．

【详解】

A、，选项正确，符合题意；

B、，选项错误，不符合题意；

C、，选项错误，不符合题意；

D、，选项错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．

3．（2021·广西贺州市·中考真题）多项式因式分解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可

【详解】

解：

故答案选：A．

【点睛】

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．

4．（2021·贵州铜仁市·中考真题）下列等式正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

依据绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，逐项计算即可．

【详解】

A. ，不符合题意

B. ，不符合题意

C. ，不符合题意

D. ，符合题意

故选D．

【点睛】

本题考查了绝对值的计算，特殊角的三角函数，积的乘方，同底数幂的除法运算，完全平方公式，因式分解，解决本题的关键是牢记公式与定义．

5．（2021·陕西中考真题）计算：（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可．

【详解】

解：，

故选：A．

【点睛】

本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．

突破提升

一、单选题

1．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）点在函数的图象上，则代数式的值等于（       ）

A．5 B．-5 C．7 D．-6

2．（2021·内蒙古·中考真题）若，则代数式的值为（     ）

A．7 B．4 C．3 D．

二、填空题

3．（2021·广东广州·中考真题）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是________．

4．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．

5．（2021·黑龙江绥化·中考真题）当时，代数式的值是____．

三、解答题

6．（2021·江苏镇江·中考真题）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．

（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度的有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为　　；（用含有a，b的代数式表示）

（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°）

（3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）

7．（2021·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求代数式的值：，其中．

8．（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．

（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；

（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；

（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．

9．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．

【理解】

（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．

①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；

②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．

【应用】

（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．

①当时，__________；当时，________；

②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

10．（2021·山东威海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．

（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；

（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是          ；（直接写出结果即可）

（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．

【详解】

解：∵点P（a，b）在一次函数的图象上，

∴b=4a+3，

8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式的值等于-5．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关键．

2．C

【解析】

【分析】

先将代数式变形为，再代入即可求解．

【详解】

解：．

故选：C

【点睛】

本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．

3．

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件解答．

【详解】

解：由题意得：，

解得，

故答案为：．

【点睛】

此题考查二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．

4．          216

【解析】

【分析】

根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角．

【详解】

如图，由题意可知，AB=10，AO=8，

在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，

则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长，

∴底面的周长为：，

根据弧长公式可得：，解得：，

故答案为：；216．

【点睛】

本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键．

5．

【解析】

【分析】

先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．

【详解】

解：由题意可知：

原式

，

当时，原式，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．

6．（1）；（2）56°；（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况

【解析】

【分析】

（1）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的意义求解即可；

（2）求出2020年，“具有大学文化程度的人数”所占总人数的百分比，即可求出相应的圆心角度数；

（3）根据“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义得出结论．

【详解】

解：（1）由题意得，下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为，

故答案为：；

（2）360°×≈56°，

答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56°；

（3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．

【点睛】

本题考查扇形统计图,频数分布表，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提，理解“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键．

7．；

【解析】

【分析】

先通分，然后进行分式的加减运算，化简整理，最后代入求值即可．

【详解】

原式

∵

∴将代入原式

【点睛】

本题主要考查了分式的化简求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，注意代入计算要仔细，属于常考题型．

8．（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点坐标公式即可得答案；

（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；

（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．

【详解】

（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，

∴顶点横坐标为=．

（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），

∴p=-1．

（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，

∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），

∵-1＜0，

∴该二次函数的图象开口向下，

∵图象的顶点在y轴右侧，

∴＞0，

∴，

∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，

∴-1＜m＜a，

∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，

∴≤3，

解得：，

∴a的范围为1＜≤2．

【点睛】

本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．

9．（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解

【解析】

【分析】

（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；

（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．

【详解】

解：（1）①∵，

∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，

又∵∠ADC=∠CDB=90°，

∴，

∴，即：，

∴，即：（负值舍去），

∵E是的中点，

∴==；

②∵，，

∴＞，即：＞．

故答案是：＞；

（2）①当时，==，

当时，==，

故答案是：，1；

②l的最小值是：1，理由如下：

由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，

==

=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]

= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]

=(1+1+1+1+③的面积)≥1，

∴l的最小值是1．

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．

10．(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或

【解析】

【分析】

(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；

(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．

【详解】

解：(1)由题意可知：

抛物线，

∴顶点A的坐标为；

(2)将代入中，

得到，

将代入中，

得到，

由已知条件知：，

∴，

整理得到：，

解得：，

故m的取值范围是：；

(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，

分类讨论：

①当，即时，

时二次函数取得最小值为，

又已知二次函数最小值为6，

∴，解得或，

又，故符合题意；

②当，即时，

时二次函数取得最小值为，

又已知二次函数最小值为6，

∴，解得或，

又，故或都不符合题意；

③当，即时，

时二次函数取得最小值为，

又已知二次函数最小值为6，

∴，解得或，

又，故符合题意；

综上所述，或．

【点睛】

本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．