备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点04 一次函数性质及性质应用问题

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考点04    一次函数性质及性质应用问题考点精讲类型一：正比例函数图像及性质考点1  正比例函数图像及性质1.一般地，把形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫正比例函数2.正比例函数的性质当k＞0时，正比例函数的图象过一、三 象限， y随x的增大而增大当k＜0正比例函数的图象过二、四 象限， y随x的增大而减小3．正比例函数的定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．4.正比例函数的图像：是经过原点的一条直线。5．正比例函数的性质（1）当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，y随x的增大而减小．类型二：一次函数的图像性质考点2  一次函数的图像及性质1.一般地，把形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数2.一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点(0，b)和的一条直线；一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图像平移得到；b＞0，向上平移b个单位长度；b＜0，向下平移|b|个单位长度3.图像确定：因为一次函数的图像是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图像时，只要取两点即可4．一次函数的性质：（1）当k>0时，图象主要经过第一、三象限；此时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图象主要经过第二、四象限，此时，y随x的增大而减小；（3）当b>0时，直线交y轴于正半轴；（4）当b<0时，直线交y轴于负半轴。5.一次函数的图像及性质考查的题型多为选择题，有以下几种常考类型：(1)一次函数与不等式结合；(2)一次函数与程序框图结合；(3)一次函数与反比例函数及几何图形结合；(4)单纯一次函数；6.设问方式有：(1)判断函数图像及经过的象限；(2)求未知系数的取值范围，并在数轴上表示；(3)求一次函数表达式；(4)判断一次函数图像是否经过某点．7. 用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8．正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）类型三：一次函数的应用问题考点3  一次函数的应用1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)检验所求解是否符合实际意义；(6)答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题，一般是用于分段函数。  真题解析例题1．（2021·内蒙古赤峰市·中考真题）点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ）A．5 B．-5 C．7 D．-6【答案】B【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式8a-2b+1的值．【详解】解：∵点P（a，b）在一次函数的图象上，∴b=4a+3，8a-2b+1=8a-2（4a+3）+1=-5，即代数式的值等于-5．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足图象的解析式是关键．2．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大．∵2<，∴．∴m<n．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．3．（2021·安徽）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（    ）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm【答案】B【分析】设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．【详解】解：设，分别将和代入可得： ，解得 ，∴，当时，，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握用待定系数法求解析式是解题的关键．4．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．【详解】解：正方形中，过点作轴于点，设直线所在的直线解析式为，代入，得，故选：A．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【答案】D【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线不经过第一象限，∴m=0或m＜0，当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，∵m＜0，∴-4m＞0, ∴1-4m＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键． 突破提升一、单选题1．（2021·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（       ）A． B．或C． D．或2．（2021·湖北襄阳·中考真题）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D．二、填空题3．（2021·广西柳州·中考真题）如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．4．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，……，则点的横坐标为_______．三、解答题5．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．（1）求一次函数的表达式：（2）求点的坐标及外接圆半径的长．6．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．7．（2021·湖北黄冈·中考真题）如图，反比例函数上的图象与一次函数的图象相交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线交y轴于点C，点是正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图象于点M，连接，．若，求t的取值范围．8．（2021·湖北湖北·中考真题）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系．月份…二月三月四月五月…销售价x（元件）…677.68.5…该月销售量y（万件）…3020145… （1）求y与x的函数关系式；（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）9．（2021·湖南株洲·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．10．（2021·新疆·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）判断点是否在一次函数的图象上，并说明理由；（3）直接写出不等式的解集．
参考答案：1．D【解析】【分析】先确定一次函数和反比例函数解析式，然后画出图象，再根据图象确定x的取值范围即可．【详解】解：∵两函数图象交于点，点∴ ，，解得：，k2=2∴，画出函数图象如下图：由函数图象可得的解集为：0＜x＜2或x＜-1．故填D．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及根据函数图象确定不等式的解集，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．2．D【解析】【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．【详解】解：观察一次函数图像可知，∴二次函数开口向下，对称轴，故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．3．【解析】【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解．【详解】解：连接，如下图：在中，分别是的中点，是的中位线，，已知长的最大值为，此时的，显然当三点共线时，取到最大值：，，，设，由两点间的距离公式：，，解得：（取舍），，将代入，解得：，故答案是：．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值．4．【解析】【分析】由点A是直线与双曲线的交点，即可求出点A的坐标，且可知，又可知是等腰直角三角形，再结合可知是等腰直角三角形，同理可知图中所有三角形都是等腰直角三角形，由求的坐标，即的坐标（=1,2,3……），故想到过点作轴，即过作轴．设的纵坐标为，则的横坐标为，再利用点在双曲线上即可求解坐标，同理可得的坐标．【详解】解：过作轴于点点A是直线与双曲线的交点解得是等腰直角三角形是等腰直角三角形设的纵坐标为，则的横坐标为点在双曲线上解得设的纵坐标为，则的横坐标为解得同理可得由以上规律知：即的纵坐标为的横坐标为故答案是：． 【点睛】本题考察一次函数、反比例函数、交点坐标的求法、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用和规律探究，属于综合几何题型，难度偏大．解题的关键是结合等腰直角三角形的性质做出辅助线，并在计算过程中找到规律．5．(1)；(2)点的坐标为；外接圆半径的长为【解析】【分析】(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，，的面积与的面积之比为得到，进而得到，求出A、D两点坐标即可求解；(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．【详解】解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，∴DH:OA=1:4，设，则，∵ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠EAD=90°，∵∠BAF+∠FBA=90°，∴∠FBA=∠EAD，在△ABF和△DAE中： ,∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴ 又，∴，解得(负值舍去)，∴，代入中，∴ ，解得 ，∴一次函数的表达式为；(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，整理得到：，解得 ，，∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1）∵四边形ABCD为正方形，∴，且，在中，由勾股定理：，∴，又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，∴△CPD外接圆的半径为．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．6．（1）, ；（2）【解析】【分析】（1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点，求出点的坐标，代入即可，由矩形的性质可得、坐标，代入即可求出解析式；（2）“将军饮马问题”，作关于轴的对称点，连接,直线与轴交点即为所求．【详解】（1） 四边形是矩形，， 为线段的中点 将代入，得 将，代入，得： ，解得 （2）如图：作关于轴的对称点，连接交轴于点P当三点共线时，有最小值，设直线的解析式为将，代入，得，解得令，得 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数性质，反比例函数和一次函数待定系数法求解析式，反比例函数图像上点的特点，线段和距离最值问题，正确的作辅助线，理解并记忆待定系数法求解的技巧是解题关键．7．（1），；（2）．【解析】【分析】（1）先根据点的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；（2）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）将点代入得：，则反比例函数的解析式为；当时，，解得，即，将点代入得：，解得，则一次函数的解析式为；（2）对于一次函数，当时，，即，，轴，且，，，，，，解得．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．8．（1）；（2）4万元；（3）当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）将代入求出的值，代入与的函数关系式求出该月的销售量，再利用乘以该月的销售量即可得；（3）设该月纯收入为万元，先根据纯收入的计算公式求出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】解：（1）设与的函数关系式为，将点代入得：，解得，则与的函数关系式为；（2）当时，，，则（万元），答：政府该月应付给厂家补贴4万元；（3）设该月纯收入为万元，由题意得：，整理得：，由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32，答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．9．（1），D点横坐标为；（2）【解析】【分析】（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可．【详解】解：（1）∵，∴A点横坐标为1,∵A点在一次函数的图像上，∴，∴,∵A点也在反比例函数图像上，∴，∴反比例函数解析式为：，∵，直线轴，∴D点纵坐标为t，∵D点在直线l上，∴D点横坐标为，综上可得：，D点横坐标为．（2）直线轴，交于点，交图像于点，∴E点纵坐标为t，将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，∴，A点到DE的距离为，∴，∵轴于点，∴，∴，∴，∴当时，最大=；∴的最大值为．【点睛】本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．10．（1），；（2）在，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）先利用点A求出反比例函数的解析式，由此求出点B的坐标，再利用点A及点B的坐标求出一次函数的解析式；（2）将点P的坐标代入解析式判断即可；（3）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方确定不等式的解集．【详解】解：（1）将点代入反比例函数中，得，∴反比例函数解析式为；将点代入，得-a=6，∴a=-6，∴，将点、代入一次函数中，得，∴，∴一次函数的解析式为；（2）点P在一次函数的图象上．理由：当x=-2时，，∴点P在一次函数的图象上；（3）由图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，∴当或时．【点睛】此题考查一次函数与反比例函数的综合，用待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特点，利用函数图象确定不等式的解集，正确掌握一次函数及反比例函数的知识是解题的关键．