备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点05 反比例函数性质及性质应用问题

考点05  反比例函数性质及性质应用问题

考点精讲

类型一：反比例函数的图像性质

考点1  反比例函数的图像及性质

1.反比例函数的概念：1．一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示成y＝(k是常数，且k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

2.函数图像的性质：对于反比例函数y＝(k≠0)，k＞0时，反比例函数图像经过第一、三象限(x，y同号)，在每个象限内，y随x的增大而减小，关于直线y＝－x对称；k＜0时，反比例函数图像经过第二、四象限(x，y异号)，在每个象限内，y随x的增大而增大关于直线y＝x对称。

类型二：反比例函数的几何性质

考点2  反比例函数的图像与几何图形的关系

1.反比例函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．

2. 反比例函数的几何意义包括：

（1）如下图，过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=·=.∵y=，∴xy=k，∴S=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为．

（2）如上图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则=，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为．

3. 解答反比例函数的问题，往往结合中点及三角形或梯形的面积一起出现，此类问题中，由于题中没有点的坐标，通常可通过间接设未知数的方向，表示出题目中所求的线段，利用图形旋转的特征和数形结合思想在坐标系中求图形中关键点的坐标，从而求得所求图形的面积．

【解题技巧】1.对于反比例函数y＝(k是常数，且k≠0)k的几何意义：

设P(x，y)是反比例函数y＝图像上任一点，过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.

【解题技巧】1.常见的有（1）双曲线与三角形的关系（2）双曲线与四边形的关系（3）双曲线与圆的关系（4）两条双曲线之间的关系

2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时，通常要构造一个三角形，以坐标轴上的边为底，相对顶点的横坐标(或纵坐标)的绝对值为高；如果没有坐标轴上的边，则用坐标轴将其分割后求解．

4.利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．

类型三：反比例函数的实际应用

考点3  反比例函数的实际应用

1.反比例函数表达式的确定的步骤：

(1)设所求的反比例函数为y＝(k≠0)；

(2)根据已知条件列出含k的方程；

(3)由代入法求待定系数k的值；

(4)把k代入函数表达式y＝中．

2.求表达式的两种途径：

(1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；

(2)在已知两个变量x，y具有反比例关系y＝(x≠0)的前提下，根据一对x，y的值，列出一个关于k的方程，求得k的值，确定出函数的表达式．

【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题，首先是建立函数模型．一般地，建立函数模型有两种思路：一是通过问题提供的信息，知道变量之间的函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式y＝(k≠0)，再由已知条件确定表达式中k的取值即可；二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系，此时要通过分析找出变量的关系并确定函数表达式．

类型四：反比函数的综合应用

考点4  反比例函数的图像与其它函数的关系

反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。

【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面：

①探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法；

②探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标；

③探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决，这也是求两函数图像交点坐标的常用方法；

④两个函数值比较大小的方法是以交点为界限，观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系，从而写出函数值的大小．

反比例函数与一次函数的交点问题

（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：

①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；

②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．

另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。

真题解析

例题

1.（2021·四川广安市·中考真题）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．

【详解】

解：∵反比例函数中k＜0，

∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．

∵-3＜0，-1＜0，

∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，

∴y1＞0，y2＞0，

∵-3＜-1＜0，

∴0＜y1＜y2．

∵2＞0，

∴点C（2，y3）位于第四象限，

∴y3＜0，

∴y3＜y1＜y2．

故选：A．

【点睛】

此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．

2．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用分比例函数的增减性解答即可．

【详解】

解：∵

∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0；

∵0＜1＜3，-2＜0

∴y2＜y1＜0，y3＞0

∴．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．

3．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据反比例函数的图象与性质解题．

【详解】

解：反比例函数图象分布在第二、四象限，

当时，

当时，

故选：B．

【点睛】

本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

4．（2021·湖南中考真题）正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（    ）

A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布

C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点

【答案】B

【分析】

根据正比例函数和反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．

【详解】

A、正比例函数，函数值随的增大而增大；反比例函数，在每一象限内，函数值随的增大而减小，则此项不符题意；

B、正比例函数的图象在第一、三象限都有分布，反比例函数的图象在第一、三象限都有分布，则此项符合题意；

C、正比例函数的图象与坐标轴的交点为原点，反比例函数的图象与坐标轴没有交点，则此项不符题意；

D、正比例函数，当时，，即其图象经过点，不经过点，则此项不符题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了正比例函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．

5．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据反比例函数图像的增减性分析解答．

【详解】

解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，

∴当时，

故选：A．

【点睛】

本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键．

突破提升

一、单选题

1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（       ）

A．4 B．8 C．12 D．16

2．（2021·山东青岛·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（       ）

A． B．

C． D．

3．（2021·四川内江·中考真题）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为（     ）

A． B． C． D．

4．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．

6．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为12，则k的值是__________．

7．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．

三、解答题

8．（2021·四川内江·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；

（3）若点在线段上，且，求点的坐标．

9．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求的面积．

10．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，轴于点B，延长AB至点C，连接．若，．

（1）求的长和反比例函数的解析式；

（2）将绕点旋转90°，请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标．