备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点06 二次函数性质及应用问题

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考点06 二次函数性质及应用问题
考点精讲
类型一：二次函数的图象及性质
1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质


y
x
O





（1）对称轴：
（2）顶点坐标：
（3）与y轴交点坐标（0，c）
（4）增减性：
当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；
当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).
已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式
已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c的符号
（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）
5．二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。
6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤
（1）配方为： ，确定顶点（h,k）
（2）对x轴， 左加右减；对y轴， 上加下减。
7.二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴
类型二：二次函数最值问题
二次函数最值问题的重要性毋庸置疑，其贯穿了整个中学数学，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的极为重要的问题之一。二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数最值问题的典型代表，其问题类型通常包括不含参数和含参数二次函数在闭区间上的最值问题、二次函数在闭区间上的最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题，在此类问题的解决过程中，涉及数形结合、分类讨论等重要数学思想与方法。
中考中多涉及到含参数二次函数在闭区间上的最值问题，很多学生不习惯数形结合及分类讨论思想的运用，极易导致解题失误或错误

真题解析
例题
1．（2021·山东泰安市·中考真题）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.
【详解】
解：将抛物线化为顶点式，
即：

，
将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：
，
A选项代入，，不符合；
B选项代入， ，符合；
C选项代入， ，不符合；
D选项代入，，不符合；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．
2．（2021·上海中考真题）将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变 C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【答案】D
【分析】
根据二次函数的平移特点即可求解．
【详解】
将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变
故选D．
【点睛】
此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
3．（2021·江苏中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【答案】D
【分析】
根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】
解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a的符号和根据顶点坐标求出最值．
5．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）

A． B．函数的最大值为
C．当时， D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当时，，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即，故D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．

突破提升
一、单选题
1．（2021·山东青岛·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（       ）

A． B．
C． D．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）二次函数的图象的对称轴是（       ）
A． B． C． D．
3．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
4．（2021·广西河池·中考真题）二次函数的图象如图所示，下列说法中，错误的是（     ）

A．对称轴是直线 B．当时，
C． D．
5．（2021·四川巴中·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…

A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
6．（2021·山东滨州·中考真题）对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、解答题
7．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
8．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点、（点在右侧），与轴交于点，点的横坐标恰好为．动点、同时从原点出发，沿射线分别以每秒和个单位长度运动，经过秒后，以为对角线作矩形，且矩形四边与坐标轴平行．

（1）求的值及秒时点的坐标；
（2）当矩形与抛物线有公共点时，求时间的取值范围；
（3）在位于轴上方的抛物线图象上任取一点，作关于原点的对称点为，当点恰在抛物线上时，求长度的最小值，并求此时点的坐标．
9．（2021·江苏镇江·中考真题）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D．
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开．
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是　　．
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当PDQ∼PMN时，求点Q的坐标．

10．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．


参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
2．A
【解析】
【分析】
将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．
【详解】
解：．
二次函数的图象的对称轴是．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】
点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，

当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
【点睛】
本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项C；令x=1,判断选项D,即可解答．
【详解】
解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；
B、由函数图象知，当-1 ∴当-1 C、由图可知：当x=-1时，y=a-b+c=0，
∴a +c=b，故选项C正确，不符合题意；
D、由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴a+b<-c，故选项D错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．
5．B
【解析】
【分析】
由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a，b，c的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．
【详解】
解：由表格可以得到，二次函数图象经过点和点，
点与点是关于二次函数对称轴对称的，
二次函数的对称轴为直线，
设二次函数解析式为，
代入点，得，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
，
，
①是错误的，
，
②是正确的，
方程为，
即为，
，，
③是正确的，
，
④是错误的，
②③是正确的，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．
6．A
【解析】
【分析】
将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x=6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（1）；（2）；（3）①或；②或．
【解析】
【分析】
（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】
（1）二次函数的图象经过

解得


（2）由，令
解得


当时，

,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，

由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，





，，
设，


点在抛物线上，

解得（舍）

当点在轴上方时，如图，

过点作于点，设
同理可得


点在抛物线上，

解得（舍去），

综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，

平分，，
，
,
，








当不平行于轴时，重合，
，


当轴时，如图，

此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
8．（1），；（2）；（3），
【解析】
【分析】
（1）将，代入，求出a，即可得到抛物线解析式，当秒时，，设的坐标为，建立方程求解即可；
（2）经过秒后，，，由（1）方法知，的坐标为，的坐标为进而得出的坐标为，的坐标为将代入，将代入，解方程即可得到答案；
（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，消去得，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意知，交点A坐标为，代入，
解得，
∴抛物线解析式为．
当秒时，，设的坐标为，
则，
解得或（舍），
所以的坐标为．
（2）经过秒后，，，
由（1）方法知，的坐标为，的坐标为，
由矩形的邻边与坐标轴平行可知，的坐标为，的坐标为．
矩形在沿着射线移动的过程中，点与抛物线最先相交，
如图①，然后公共点变为2个，点与抛物线最后相离，然后渐行渐远．

如图②，将代入，得，
解得，或（舍），
将代入，得，
解得，或（舍）．
所以，当矩形与抛物线有公共点时，时间的取值范围是．

（3）设，则关于原点的对称点为，当点恰好在抛物线上时，坐标为．过和作坐标轴平行线相交于点S，如图③则
．又得，
消去得


，
当时，长度的最小值为．
此时，，解得，
所以，点的坐标是．

【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，中心对称等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（1）y＝，D(﹣4，﹣)；（2）①见解析；②A，D；③(2，)或(﹣10，)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①根据要求作出图形即可．
②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论．
③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可．
【详解】
解（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(﹣6，0)，点B(0，2)，且抛物线的对称轴经过点C(﹣4，8)，
∴，
解之得：，
∴y＝，
∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣，
∴D(﹣4，﹣)．
（2）①如图1中，点N，直线l即为所求．

②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．
由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8），

∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（，），
由．解得，
∴N（，），
∴Q（（，），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH，
∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT，
∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
∴PQ＝MQ，
∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°，
∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴＝，故选项D正确，B，C错误，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，
∴折痕与AB垂直，故选项A正确，
故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．

∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，
∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m），
把Q的坐标代入，得到，，
整理得，9m2﹣42m﹣32＝0，
解得m＝或﹣（舍弃），
∴Q（2，），
根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(2，)或(﹣10，)．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点．
10．（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4）
【解析】
【分析】
（1）把代入，列方程组求出b，c的值；
（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；
（3）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t的值；
（4）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．
【详解】
解：（1）把代入，
得，解得，
故答案为：，．
（2）∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
设直线BD的函数表达式为，
则，解得，
∴．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，，
∴，；
∵，且，
∴，解得＜t＜，且；
∵，
∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
由，
解得，（不符合题意，舍去）；
由，
解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，或．

（4）由（2）得，抛物线的对称轴为直线，
过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵，
∴，
∴，
∴＝＝6，
∴R（0，4）；

如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2＋r＝，
∴当r＝时，GR的最小值为，
∴R（0，）；

如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴，
∴点R运动路径的长为．

【点睛】
本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题．