备注2023年新中考数学二轮专题导练 考点12 定义问题

考点12定义问题

考点精讲

类型一：新定义

“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。

  “新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。

“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法． 运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．

“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题．

真题解析

例题

1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（    ）

A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．

【详解】

令,

当时，即时，，

令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），

∴当时，，

∴（），

∵y随x的增大而增大，

∴当x=2时，；

当时，即时，，

令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），

∴当时，或，

∴（或），

∵的对称轴为x=1，

∴当时，y随x的增大而减小，

∵当x=2时，=3，

∴当时，y<3；

当，y随x的增大而增大，

∴当x=-1时，=0；

∴当时，y<0；

综上，的最大值为3．

故选C．

【点睛】

本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．

2．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解．

【详解】

解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为，

∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，

∴点A，B，O在同一直线上，

∴直线经过原点，

∴m+3=0，

∴m=-3，

∴一次函数的解析式为，

∴一次函数的特征数是．

故选：D

【点睛】

本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．

3．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（    ）

A．或 B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】

根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．

【详解】

解：由题意得，当时，

即时，，

则，

解得，

∴此时原不等式的解集为；

当时，

即时，，

则，

解得，

∴此时原不等式的解集为；

综上所述，不等式的解集是或．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．

4．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ）

A．且 B． C．且 D．

【答案】C

【分析】

按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．

【详解】

解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，

∴．

整理得，．

∵方程有两个实数根，

∴判别式且．

由得，，

解得，．

∴k的取值范围是且．

故选：C

【点睛】

本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．

5.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）

A．c＜－3   B．c＜－2   C．D．c＜1

【答案】B

【解析】 当y=x时，x=x2+2x+c，即为x2+x+c=0，由题意可知：x1，x2是该方程的两个实数根，所以

∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0，

即x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0，

∴c－(－1)＋1＜0，

∴c＜－2.

又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0，

即12－4c＞0，

解得：c＜.

∴c的取值范围为c＜－2 .

突破提升

一、单选题

1．（2021·山东济南·中考真题）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2021·四川雅安·中考真题）定义：，若函数，则该函数的最大值为（       ）

A．0 B．2 C．3 D．4

3．（2021·广西来宾·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（       ）

A．或 B． C．或 D．或

4．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　）

A． B． C．1 D．2

5．（2021·湖南永州·中考真题）定义：若，则，x称为以10为底的N的对数，简记为，其满足运算法则：．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为（       ）

A．5 B．2 C．1 D．0

6．（2021·内蒙古通辽·中考真题）定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·湖南张家界·中考真题）对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（       ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

8．（2021·黑龙江绥化·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（       ）

A． B．5 C． D．

二、填空题

9．（2021·上海·中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

三、解答题

10．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；

（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围

【详解】

点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，

当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，

从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，

最小值是当时，取得最小值，

．

故选D．

【点睛】

本题考查了新定义，二次函数的最值问题，分段讨论函数的最值，可以通过函数图像辅助求解，理解新定义，画出函数图像是解题的关键．

2．C

【解析】

【分析】

根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．

【详解】

令,

当时，即时，，

令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），

∴当时，，

∴（），

∵y随x的增大而增大，

∴当x=2时，；

当时，即时，，

令 ，则w与x轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），

∴当时，或，

∴（或），

∵的对称轴为x=1，

∴当时，y随x的增大而减小，

∵当x=2时，=3，

∴当时，y<3；

当，y随x的增大而增大，

∴当x=-1时，=0；

∴当时，y<0；

综上，的最大值为3．

故选C．

【点睛】

本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．

3．C

【解析】

【分析】

根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．

【详解】

解：由题意得，当时，

即时，，

则，

解得，

∴此时原不等式的解集为；

当时，

即时，，

则，

解得，

∴此时原不等式的解集为；

综上所述，不等式的解集是或．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．

4．B

【解析】

【分析】

题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m．

【详解】

解：由，

∴，

得：，

∵解集为，

∴

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式．

5．C

【解析】

【分析】

根据新运算的定义和法则进行计算即可得．

【详解】

解：原式，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．

6．D

【解析】

【分析】

先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解．

【详解】

解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为，

∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，

∴点A，B，O在同一直线上，

∴直线经过原点，

∴m+3=0，

∴m=-3，

∴一次函数的解析式为，

∴一次函数的特征数是．

故选：D

【点睛】

本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．

7．D

【解析】

【分析】

本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．

【详解】

解：根据题意由方程得：

整理得：

根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．

8．B

【解析】

【分析】

根据题意列出算式，求解即可

【详解】

．

故选B．

【点睛】

本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．

9．

【解析】

【分析】

先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．

【详解】

解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．

∴点O与正方形边上的所有点的连线中，

最小，等于1，最大，等于．

∵，

∴点P与正方形边上的所有点的连线中，

如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；

如图3所示，当点A落在上时，最小值．

∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．

故答案为：

【点睛】

本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．

10．（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．

【解析】

【分析】

（1）根据定义分别求解即可求得答案；

（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；

（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．

【详解】

解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，

∴函数y=x+2没有“等值点”；

∵函数，令y=x，则，即，

解得：，

∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；

（2）∵函数，令y=x，则，

解得：(负值已舍)，

∴函数的“等值点”为A(，)；

∵函数，令y=x，则，

解得：，

∴函数的“等值点”为B(，)；

的面积为，

即，

解得：或；

（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．

∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，

∴函数W的解析式为，

令y=x，则，即，

解得：，

∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；

令y=x，则，即，

当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；

当时，观察图象，恰有2个“等值点”；

当时，

∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，

∴函数W2没有“等值点”，

∴，

整理得：，

解得：．

综上，m的取值范围为或．

【点睛】

本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．