专题4.3 等比数列（A卷基础篇）

专题4. 3等比数列（A卷基础篇）（人教A版第二册,浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）各项均为正数的等比数列中，，，则（ ）

A．2 B．-2 C． D．

【答案】A

【解析】

因为各项均为正数的等比数列中，，，所以，所以（负值舍去）

故选：A.

2．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）等比数列中，已知，，数列的公比为（    ）.

A． B． C．2 D．

【答案】C

【解析】

数列是等比数列，则，（为数列的公比），则，解得.

故选：C.

3．（2020·山东省济南回民中学高二期中）在等比数列中，，，则数列的前5项和等于（    ）

A．31 B．32 C．63 D．64

【答案】A

【解析】

因为等比数列中，，，所以数列的前5项和，

故选：A.

4．（2020·全国高二课时练习）与的等比中项是（    ）

A．1 B． C．2 D．或1

【答案】D

【解析】

由题意可设与的等比中项是，

则，解得或.

故选：D.

5．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（    ）

A．3盏 B．9盏 C．27盏 D．81盏

【答案】C

【解析】

根据题意，设塔的底层共有盏灯，则每层灯的数目构成以为首项，为公比的等比数列，

则有，

解可得：，

所以中间一层共有灯盏.

故选：C

6．（2020·江苏省锡山高级中学高二月考）在等比数列中，首项则项数n为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】

由题意可得等比数列通项，则

故选：C

7．（2020·江苏南通市·高二期中）已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（    ）

A．4 B．－4 C．±4 D．不确定

【答案】A

【解析】

由题意知：，且若令公比为时有，

∴，

故选：A

8．（2020·云南高二学业考试）已知等比数列的前n项和为，公比，则等于（    ）

A．32 B．31 C．16 D．15

【答案】B

【解析】

因为等比数列的前n项和为，公比，所以，又因为，所以.

故选：B.

9．（2020·河南南阳市·高三期中（理））公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】D

【解析】

等差数列中,,故原式等价于解得或

各项不为0的等差数列,故得到，

数列是等比数列，故=16.

故选：D.

10．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.2的视标边长为，则视力5.1的视标边长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设第行视标边长为，第行视标边长为

由题意可得：

则数列为首项为，公比为的等比数列

即

则视力5.1的视标边长为

故选：A

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．（2020·河南高三月考（理））已知等比数列满足且，则________.

【答案】

【解析】

因为，所以.

故由等比数列的通项公式得.

故答案为：

12．（2020·上海市建平中学高三期中）已知公比为的等比数列满足，则__________________．

【答案】1

【解析】

因为为等比数列，且，

所以，即，解得，

故答案为：1

13．（2020·湖北省孝感市第一高级中学高一期中）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满…….连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，则________.

【答案】5

【解析】

根据题意，连续进行了次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列，

则数列是首项为，公比为的等比数列，则，

若连续进行了次后，容器中的纯酒精还剩下，即，

解得，

故答案为：．

14．（2020·浙江高二单元测试）在正项等比数列中，若，，则___________；___________．

【答案】       

【解析】

由题意可知，由题意可得，解得，

.

故答案为：；.

15．（2020·全国高三专题练习）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过________次截取.

【答案】       

【解析】

记第天后剩余木棍的长度，则是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，

由得，所以的最小值为.

所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是尺，要使剩余木棍的长度小于尺，需要经过次截取.

故答案为：；.

16．（2020·江苏南通市·）是正项等比数列的前和，，，则______．公比______．

【答案】2    3   

【解析】

当时，，不满足题意，故；

当时，有，解之得：.

故答案为：2；3.

17．（2020·全国高三专题练习）等差数列的前项和为，若，，且，，成等比数列，则________，________．

【答案】    12   

【解析】

设等差数列的公差为，则由得，即，解得，

则，．

由，，成等比数列得，

即，解得．

故答案为：；12

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18．（2020·全国高二）已知数列的通项公式.

（1）求，；

（2）若，分别是等比数列的第1项和第2项，求数列的通项公式.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）因为，所以，，

（2）由题意知：等比数列中，，，

公比

∴等比数列的通项公式

19．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二月考）已知正项等比数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设等比数列的公比为，则，所以或（舍），

所以，.

（2）由（1）得，所以.

20．（2020·广西桂林市·桂林十八中高二月考（文））在正项等比数列中，，且，的等差中项为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和为．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设正项等比数列的公比为，

由题意可得，解得．

数列的通项公式为；

（2）.

21．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟（理））已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）设等差数列的公差为（），

因为，且成等比数列，

所以，即，

解得（舍去）或，

所以，

（2）由（1）可得，

所以

22．（2020·安徽高三其他模拟（文））设是等比数列，其前项的和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设的公比为q，因为，所以，所以，

又，所以，所以.

（2）因为，所以，

由，得，即，解得，

所以n的最小值为6.